Лабораторная работа № 4. Проверка статистических гипотез Понятие статистической гипотезы

Статистической гипотезой называют любое утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Например, случайная величина Х имеет распределение Пуассона, случайная величина с нормальным распределением имеет среднее значение μ=5 или μ≠5 и т. д. Статистические гипотезы проверяются статистическими методами.

Гипотезы о неизвестном параметре θ распределения бывают простые и сложные; простая гипотеза утверждает, что параметр θ имеет одно конкретное значение (θ=θ₀), а сложная гипотеза утверждает, что параметр θ имеет значение из совокупности значений (θ < θ ₀, θ > θ ₀, θ ≠ θ ₀).

Проверяемую гипотезу называют основной и обозначают Н₀. Обычно вырабатывают еще и альтернативную гипотезу Н₁, отрицающую или исключающую основную гипотезу Н₀. Таким образом, в результате проверки можно принимать только одну из гипотез Н₀ или Н₁ отвергая в это же время другую.

Гипотезу проверяют на основании выборки, полученной из генеральной совокупности. Из-за случайности выборки в результате проверки могут возникать ошибки и приниматься неправильные решения. В принципе возможны ошибки первого и второго рода. Ошибка первого рода имеет место тогда, когда отвергается правильная гипотеза Н₀. При ошибке второго рода принимается неправильная гипотеза H₀.

Таким образом, по одним выборкам принимается правильное решение, а по другим – неправильное. Решение принимается по значению некоторой функции выборки, называемой статистикой или статистической характеристикой. Множество значений этой статистики можно разделить на два непересекающихся подмножества:

• подмножество значений статистики, при которых гипотеза Н₀ принимается (не отклоняется), называют областью принятия гипотезы (допустимой областью);

• подмножество значений статистики, при которых гипотеза Н₀ отвергается (отклоняется) и принимается гипотеза Н₁, называют критической областью.

При проверке гипотез разумно уменьшить вероятности принятия неправильных решений. Допустимая вероятность ошибки первого рода обозначается через α и называется уровнем значимости. Значение α обычно мало. Но уменьшение вероятности ошибки первого рода обычно вызывает увеличение вероятности ошибки второго рода (β).

Статистика выбирается так, чтобы вероятности α и β были бы минимальными. Проверяемая гипотеза Н₀ в настоящем пособии предполагается всегда простой, так что распределение статистики при правильной гипотезе Н₀ известно. Методы выбора наилучшей статистики здесь не рассматриваются.

Для определения критической области статистики используют уровень значимости α и учитывают вид альтернативной гипотезы Н₁.

Основная гипотеза Н₀ о значении неизвестного параметра распределения выглядит так:

Н₀:θ=θ₀.

Альтернативная гипотеза Н₁ может при этом иметь следующий вид:

Н₁:θ<θ₀, H₁:θ>θ₀ или Н₁:θ≠θ₀.

Соответственно можно получить левостороннюю, правостороннюю или двустороннюю критические области (рис. 1). Граничные точки критических областей определяют по таблицам распределения статистики.

а) б) в)

Рис. 1. Критические области:

а – левосторонняя; б – правосторонняя; в - двусторонняя

Проверка статистической гипотезы состоит из следующих этапов:

1. определение гипотез Н₀ и Н₁;

2. выбор статистики и задание уровня значимости α;

3. определение по таблицам, по уровню значимости α и по альтернативной гипотезе Н₁ критической области;

4. вычисление по выборке значения статистики;

5. сравнение значения статистики с критической областью;

6. принятие решения: если значение статистики не входит в критическую область, то принимается гипотеза Н₀ и отвергается гипотеза Н₁, а если входит в критическую область, то отвергается гипотеза Н₀ и принимается гипотеза Н₁.

Иногда целесообразно перед определением альтернативной гипотезы Н₁ выполнить этап 4), где для получения значения статистики нужно вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности. Например, если проверяется гипотеза Н₀: μ≠5 и несмещенная оценка среднего значения , то имеют смысл только следующие альтернативные гипотезы H₁: μ >5 или H₁: μ =5.

Результаты проверки статистической гипотезы нужно интерпретировать так: если приняли гипотезу Н₁, то можно считать ее доказанной, а если приняли гипотезу Н₀, то признали, что гипотеза Н₀ не противоречит результатам наблюдений. Однако этим свойством наряду с Н₀ могут обладать и другие гипотезы. Например, если мы принимаем гипотезу H₀: μ =5, то может случиться, что по данной выборке можно принять и другие гипотезы, например, H₀: μ =5,5 или H₀: μ =4 и т.д. Вопрос о том, как найти среди них наилучшую гипотезу, в данном пособии не рассматривается. Следует помнить, что, принимая гипотезу Н₀, следует проводить еще дополнительные исследования.