Теоретична частина Формули алгебри логіки та їх спрощення

В алгебрі висловлень формулою називають прості висловлення, а також усі складні висловлення, які утворюються із скінченного числа простих висловлень за допомогою логічних операції.

П риклади формул:

Виникає запитання: яку роль відіграють дужки в алгебрі висловлювань?

В алгебрі висловлювань можна не вживати квадратних або фігурних дужок. Правда, іноді їх застосовують, але тільки для наочності.

В алгебрі висловлювань справедливі такі найважливіші правила:

1. Якщо формула або її частина знаходиться під знаком операції заперечення, то останній замінює дужки.

Приклади:

У першому прикладі треба спочатку утворити висловлення , потім , далі і, нарешті, Легко побачити, що роль дужок тут виконує знак операції заперечення.

У другому прикладі порядок побудови висловлення такий:

2. Знак кон’юнкції пов’язує висловлення тісніше, ніж знаки логічних операцій:

Приклади:

У наведених прикладах дужок немає. Проте порядок побудови висловлення в кожному прикладі цілком визначений. Так, у першому прикладі висловлення будуємо в такому порядку У третьому прикладі:

3. Знак диз’юнкції пов’язує висловлення тісніше, ніж знаки логічних операцій:

П риклади:

У цих прикладах спочатку виконуємо логічну операцію диз’юнкції.

4. Знак імплікації пов’язує висловлення тісніше, ніж знаки логічних операцій:

Приклади:

У першому прикладі порядок побудови висловлення такий:

У другому прикладі:

Зауважимо, що іноді для наочності у формулах ставлять дужки там, де вони непотрібні.

Приклади:

Замість пишуть

Замість пишуть

Якщо у формулі зустрічається тільки операція імплікації, то можна записати так: і виконувати операції послідовно зліва направо. Проте для наочності вживаємо дужки і писатимемо: ((А→В)→С)→К.

Формула, яка є кон’юнкцією простих висловлень або їх заперечень, називається елементарною кон’юнкцією.

Приклади:

Якщо в елементарній кон’юнкції є висловлення і його заперечення, то така елементарна кон’юнкція дорівнює нулю.

Приклади:

Формула, яка є диз’юнкцією простих висловлень або їх заперечень, називається елементарною диз’юнкцією.

Приклади:

Якщо в елементарній диз’юнкції є висловлення і його заперечення, то така елементарна диз’юнкція дорівнює 1.

Приклади:

В алгебрі висловлень формула часто має назву тієї операції, яку виконують останньою.

Приклади:

Наведені правила дають можливість спростити складні формули алгебри висловлень.

Якщо формула містить логічні операції: операцію Шеффера, еквівалентність, заперечення еквівалентності і імплікацію, то спочатку треба замінити ці операції на “бульові” операції (заперечення, диз’юнкцію, кон’юнкцію), а потім застосувати закони бульової алгебри.

Якщо формула набуває значення 1 при всіх довільних значеннях простих висловлень, що входять до неї, то вона називається тотожно істинною.

Якщо формула набуває значення 0 при всіх довільних значеннях простих висловлень, що входять до неї, то вона називається тотожно хибною.

Формула, яка може набувати значень істинності 0 і 1 залежно від значень простих висловлень, що входять до неї, називається здійсненною.