Теоретична частина

Іноді в алгебрі висловлювань, крім заперечення, кон’юнкції, диз’юнкції та імплікації, розглядають ще й інші логічні операції: операцію еквівалентності двох висловлень, операцію заперечення еквівалентності двох висловлень та операцію Шеффера.

Зауважимо, що всі логічні операції можна виразити через заперечення, диз’юнкцію та кон’юнкцію.

Тому, розглядаючи кожну нову логічну операцію, ми виражатимемо її через операції заперечення, диз’юнкції та кон’юнкції.

Еквівалентність двох висловлень

Еквівалентністю двох висловлювань А і В називається таке складне висловлення А~В (читається: “А еквівалентне В”), яке істинне тоді і тільки тоді, коли значення істинності висловлень А і В однакові і хибне – якщо різні.

Еквівалентність двох висловлень А~В утворюється з висловлень А і В за допомогою логічної операції еквівалентності.

Наведемо таблицю істинності для еквівалентності двох висловлень.

А	В	А~В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Вище ми застосовували знак =, щоб показати, що висловлення А і В еквівалентні. Природно виникає запитання: яка різниця між вживанням знака = і знака ~ логічної операції еквівалентності? Яка різниця між еквівалентними висловленнями А і В (А=В) і еквівалентністю висловлень А і В (А~В)?

Різниця полягає в тому, що запис А=В показує однакове значення істинності А і В при всіх умовах, а запис А~В слід розуміти як одне складне висловлення (воно істинне, якщо значення істинності А і В однакові, і хибне – якщо різні).

Заперечення еквівалентності двох висловлень

Запереченням еквівалентності двох висловлень А і В називається таке складне висловлення (читається: “А не еквівалентне В”), яке істинне тільки тоді, коли значення істинності висловлень А і В різні, і хибне – якщо однакові.

Заперечення еквівалентності висловлень А і В утворюється за допомогою логічної операції заперечення еквівалентності двох висловлень.

Наведемо таблицю істинності для заперечення еквівалентності двох висловлень.

А	В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Порівнюючи таблиці істинності для еквівалентності двох висловлень і заперечення еквівалентності двох числових висловлень, бачимо, що .

Зауважимо, що логічну операцію заперечення двох висловлень, треба розуміти як роздільний сполучник “або”. Справді, якщо то це свідчить про те, що лише одне з висловлень А і В істинне (або А=1, або В=1, але не обидва).

Операція Шеффера

Несумісністю двох висловлювань А і В називається таке складне висловлювання, яке хибне тоді і тільки тоді, коли обидва прості висловлення А і В істинні, і істинне в усіх інших випадках.

Несумісність двох висловлень утворюється з даних висловлень за допомогою операції Шеффера і позначається штрихом Шеффера: А/В.

З означення несумісності двох висловлень випливає, що вона є запереченням кон’юнкції двох висловлень, тобто Наведемо таблицю істинності для несумісності двох висловлень.

А	В	А/В
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0