§ 2.6. Векторы скорости и ускорения точки вращающегося тела

Обратимся к рисунку 2.9, на котором показаны ось вращения тела (само тело не показано, оно может быть любой формы), координатная плоскость П, от которой откладывается угол вращения тела - угол между плоскостью П и подвижной плоскостью , проходящей через точку М.

2.31. Вектор скорости произвольной точки тела, вращающегося относительно неподвижной оси, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела и радиуса – вектора этой же точки.

(2.21)

Формула (2.21) называется формулой Эйлера. Утверждение 2.31 будет доказано, если будет доказано, что полученный по формуле (2.21) вектор направлен в сторону вращения тела по касательной к траектории точки, а модуль вектора равен модулю величины скорости , вычисленной по формуле (2.14). Покажем, что это действительно так. Положение точки М определим радиус-вектором , начало которого лежит на оси вращения тела, а конец упирается в точку М. Следовательно, радиус - вектор точки М лежит в плоскости . Вектор направлен по оси вращения по правилу 2.28. В нашем случае вектор показан на рис.2.9а. Чтобы найти направление вектора , векторы и не меняя их направлений мысленно перенесем в точку , как показано на рис.2.9а и 2.9б. Принимая во внимание определение векторного произведения, вектор скорости , вычисленный по формуле (2.21), должен быть направлен перпендикулярно заштрихованной плоскости, то есть плоскости , в которой лежат векторы сомножители и , в ту сторону, откуда кратчайший поворот от первого сомножителя ко второму сомножителю наблюдается происходящим против часовой стрелки. Следовательно, вектор скорости направлен в направлении вращения тела, как показано на рис. 2.9а и 2.9б. Это в точности совпадает с направлением вектора скорости, которое определилось бы из (2.14). Определим модуль вектора скорости по (2.21). По правилам векторной алгебры имеем для модуля векторного произведения: = = , где = (рис.2.9а). То есть модуль вектора , полученного по формуле (2.21) в точности совпадает с модулем алгебраического значения скорости, полученным из (2.14). Что и требовалось доказать. Формула (2.21) действительно определяет вектор скорости точки тела, вращающегося относительно неподвижной оси, и по направлению, и по величине.

Вектор полного ускорения точки в неподвижной системе отсчета вычисляется по формуле (1.15) . С учетом (2.21), (2.7), (1.13) получим:

.

Пользуясь рассуждениями, с помощью которых был установлен механический смысл векторного произведения (2.21) можно доказать, что

(2.22)

(2.23)

2.32. Вектор касательного ускорения произвольной точки тела, вращающегося относительно неподвижной оси, равен векторному произведению вектора углового ускорения тела и радиуса – вектора этой же точки .

2.33. Вектор нормального ускорения произвольной точки тела, вращающегося относительно неподвижной оси, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела и вектора скорости этой же точки .

Действительно (см. рис.2.9), вектор направлен так же, как вектор или в противоположную сторону, так как вектор - общий вектор для обеих формул, а вектор и вектор лежат на одной и той же прямой – оси вращения и могут лишь быть направлены в одну сторону, или в разные стороны. Другими словами, вектор , в зависимости от направления вектора , будет направлен, как показано на рис.2.9, или в обратную сторону, но всегда по касательной к траектории. Модуль вектора = . Эта величина равна модулю касательного ускорения из формулы (2.15). Здесь и угол , и расстояние от точки до оси вращения те же самые, что были вычислены при обсуждении формулы (2.21). Следовательно, равенство (2.22) определяет вектор касательного ускорения точки вращающегося тела. Аналогично проанализировав векторное произведение (2.23), приходим к выводу, что это – вектор нормального ускорения точки (доказательство рекомендуется проделать самостоятельно).