Уравнения поступательного движения твердого тела
Из основной теоремы поступательного движения следует, что положение тела в пространстве в любой момент времени при поступательном движении можно определить зная закон движения одной его точки. Например, точки (см. рис.2.4). Тогда при координатном способе задания движения точки (§ 1.4.) эти уравнения будут иметь вид:
(2.1)
Если
уравнения (2.1) известны, то уравнение
траектории точки
в канонической форме определится
исключением параметра времени в
уравнениях (2.1). Чтобы получить траекторию
точки
(рис. 2.4а) надо будет просто траекторию
точки
параллельно самой себе переместить в
направлении вектора
.
Проекции векторов скорости и ускорения точки , следовательно, и всех других точек тела на оси неподвижной системы координат, вычисляются по формулам (1.33), (1.38) .
,
,
Если известна траектория какой-либо точки тела, совершающего поступательное движение, то движение этой точки можно задать и естественным способом:
(2.2)
Величины алгебраической скорости, касательного и нормального ускорений точек тела находятся теперь по формулам (1.53), (1.55).
2.3. Уравнения (2.1), (2.2) называются уравнениями поступательного движения твердого тела.
Пример
2.1: Кривошипный
механизм
состоит из двух вращающихся параллельных
невесомых стержней (кривошипов)
и
,
соединенных с неподвижным основанием
с помощью цилиндрических шарниров в
точках
и
.
В точках
и
кривошипы с помощью подвижных
цилиндрических шарниров соединены с
невесомым стержнем
,
на котором с помощью цилиндрических
шарниров установлены стержни
и
.
Треугольник
- прямоугольный, причем
=
.
Длины
.
Вектор скорости точки
образует с кривошипом
угол в
и
равен по величине
.
В показанном на рисунке 1 к примеру 2.1
положении механизма определить: 1)
Величину и направление вектора скорости
точки С.
2) Угол
,
который образует вектор
со стороной треугольника
.
3) Траекторию точки С.
4) Радиус
кривизны траектории точки С.
5) Величину и направление вектора
нормального ускорения
.
Решение:
На рис. 1 дано условие задачи. Рис.2
сопровождает решение задачи. Заметим,
что в процессе движения всего механизма
параллелограмм
остается параллелограммом. Следовательно,
сторона
остается параллельной стороне
.
Но стержень
одновременно принадлежит и параллелограмму
,
и треугольнику
.
Тогда, при движении механизма сторона
треугольника все время будет оставаться
параллельной самой себе, а жесткая
фигура треугольника
движется поступательно. По основной
теореме поступательного движения
утверждаем, что
.
Эти векторы параллельны и модули их
равны, что показано на рисунке 2.
.
Чтобы определить угол
между вектором
и стороной треугольника
,
проведем через точки
и
две штрихпунктирные прямые, параллельные
прямой
(или
).
С учетом того, что
,
найдем у узлов
и
углы, показанные на рис.2. Между вектором
и стороной
образуется угол
.
Траектории точек
и
по основной теореме поступательного
движения тоже одинаковы. Из рисунков
видно, что точка
движется по окружности с центром в точке
,
так как
в любой момент времени. Радиус кривизны
окружности
.
Точка
движется по окружности того же радиуса.
Где центр этой окружности
.
Известно, что вектор скорости любой
точки направлен по касательной к
траектории в каждый момент времени.
Радиус кривизны кривой в точке
перпендикулярен касательной, проведенной
в этой же точке. То есть перпендикулярен
вектору скорости, если он известен. В
этой задаче известен вектор
.
Восстановим в точке
перпендикуляр к вектору
и, отложив на нем отрезок
,
находим центр окружности
,
по которой движется точка
.
Вектор нормального ускорения
направлен по радиусу кривизны траектории,
то есть по линии
и равен по величине
.