§ 2.5. Векторное представление угла поворота, угловой
скорости и углового ускорения вращающегося тела
Пусть
твердое тело вращается относительно
неподвижной оси
.
Пусть
-
единичный вектор этой оси, направленный
в положительное направление оси. Введем
три вектора скалярного аргумента по
формулам:
,
,
(2.19)
Здесь под проекциями векторов на ось , как это видно из формул (2.19), понимаются функции, заданные или вычисленные по (2.3), (2.5), (2.7). Кроме того, как видно из определения (2.19), имеют место дифференциальные зависимости:
и
(2.20)
Итак,
2.27.
За вектор угла поворота тела
принимается вектор, длина (модуль)
которого в некотором масштабе равна
модулю функции
,
заданной по формуле (2.3), приложенный в
любой точке оси вращения и направленный
по оси вращения в ту сторону, откуда
вращение видно, происходящим против
часовой стрелки.
2.28.
За вектор угловой скорости тела
принимается вектор, длина (модуль)
которого в некотором масштабе равна
модулю функции
,
вычисленной по формуле (2.5), приложенный
в любой точке оси вращения и направленный
по оси вращения в ту сторону, откуда
вращение видно, происходящим против
часовой стрелки.
Векторы
и
определяют: 1) ось вращения, 2) направление
вращения и величину углового перемещения
(угла поворота), 3) числовое значение
угловой скорости. При графическом
изображении эти вектора изображаются
в некоторых, возможно в разных, масштабах.
2.29.
За вектор углового ускорения тела
принимается вектор, длина (модуль)
которого в некотором масштабе равен
модулю функции
,
вычисленной по формуле (2.7), приложенный
в любой точке оси вращения и направленный
по оси вращения.
2.30.
Направления векторов
и
совпадают при ускоренном вращении и не
совпадают при замедленном. Другими
словами, направление векторов
,
совпадают, если модуль вектора угловой
скорости растет (см. 2.15), и они взаимно
противоположны – в противном случае
Пример 2.8: На рисунке к примеру 2.8 изображены десять вариантов вращательного движения тела. Направление вращения на рисунках показаны дуговыми стрелками . Направление вращения можно определить и по вектору , пользуясь правилом 2.28. На практике, чтобы по вектору определить направление вращения тела, нужно делать так : 1) сожмите правую руку в кулак, 2) отогните большой палец правой руки (так люди показывают, что дела у них идут отлично), 3) направьте большой палец по направлению вектора , 4) направление согнутых пальцев правой руки покажут направление вращения твердого тела. Обратно, если надо по известному направлению вращения (то есть по дуговой стрелочке ) определить направление вектора , то согнутые пальцы правой руки нужно расположить по направлению вращения, а отогнутый большой палец укажет направление вектора .
Тело
вращается против часовой стрелки, если
положительное направление оси
совпадает с направлением вектора
.
По рис. к
примеру видим:
а) тело вращается против часовой стрелки, ускоренно.
б) тело вращается по часовой стрелке, ускоренно.
в) тело вращается против часовой стрелки, замедленно.
г) тело вращается по часовой стрелке, замедленно.
д) тело вращается относительно наклонной оси против часовой стрелки, ускоренно.
е) тело вращается относительно наклонной оси по часовой стрелке, замедленно.
ж) тело вращается относительно горизонтальной оси против часовой стрелки, ускоренно.
з) тело вращается относительно горизонтальной оси против часовой стрелки, замедленно.
и)
тело вращается относительно горизонтальной
оси против часовой стрелки, равномерно
(
).
к) тело вращается относительно горизонтальной оси по часовой стрелке, равномерно.
