Глава 2. Поступательное и вращательное движения твердого тела

В первой главе мы изучили кинематику точки - то есть движение объекта, который не имеет ни формы, ни размеров, и не был связан с телами конечных размеров. Переходим к кинематике твердого тела, то есть к изучению различных видов движения твердых тел. Изучив движение тела, всегда будем переходить к определению кинематических характеристик движения отдельных точек этого тела.

§ 2.1. Поступательное движение твердого тела

2.1. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая ав, мысленно проведенная в этом теле, движется, оставаясь параллельной своему начальному направлению (рис.2.1).

Классическим примером тела, совершающего поступательное движение, является спарник паровоза. На фото 1 спарники показаны стрелками. Они параллельны рельсам. На рис. 2.2. спарник схематично изображен стержнем CD. Спарник блокирует колеса тепловоза и при вращении колес остается параллельным самому себе, то есть движется поступательно. Точки спарника С и D, равно как и все другие точки спарника, описывают одинаковые по форме траектории в виде циклоиды.

Фото 1

Еще одним примером поступательного движения является движение кабин «колес обозрения». Принципиальная схема движения всех, даже самых знаменитых колес обозрения Мира, одинакова. На фото 2 показано детское колесо обозрения, которое приводится в движение людьми. На фотографии четко видна параллельность всех сидений в разных их положениях. Само колесо вращается, а сидения для детей движутся поступательно.

Фото 2

2.2. Основная теорема поступательного движения. При поступательном движении все точки тела описывают тождественные параллельные траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые векторы скорости и ускорения , . А и В – две произвольные точки тела (рис.2.3).

Примечание: Две кривые называются тождественными, если они совпадают при наложении. Совпадающие точки тождественных кривых называются соответствующими. Две тождественные кривые называются параллельными, если касательные к ним, проведенные в соответствующих точках, параллельны.

Доказательство: Рассмотрим поступательное движение твердого тела в некоторой неподвижной системе отсчета (рис.2.3). На теле выберем две произвольные точки и . Эти точки вместе с телом совершают движение. Законы движения этих точек зададим векторным способом: . В точке с телом жестко свяжем подвижную систему координат , оси которой параллельны осям неподвижной системы координат . Система координат вместе с телом будет совершать поступательное движение. Положение точки в подвижной системе координат определяется радиус – вектором . Вектор - постоянный вектор, так как длина его постоянна в силу принятой гипотезы об абсолютно твердом теле, а направление его в пространстве не изменяется в силу поступательности движения, совершаемого телом. Тогда, применяя правило треугольника для сложения векторов, получаем (см. рис. 2.3а):

( )

Продифференцируем по времени равенство ( ). С учетом (так как = ), получаем:

.

Последнее равенство с учетом (1.13) можем записать:

.

Другими словами, векторы скоростей двух произвольных точек тела, совершающего поступательное движение, равны. Следовательно, векторы скоростей всех точек тела равны.

Чтобы доказать равенство векторов полных ускорений точек, продифференцируем еще раз равенство . Будем иметь:

.

C учетом формулы (1.15) получим:

.

Следовательно, в силу произвольности выбора точек и , векторы полных ускорений всех точек тела тоже равны.

Тождественность траекторий точек и тела следует из того, что эти траектории, при необходимости, можно получить одну из другой параллельным смещением одной из них на величину . Следовательно, в силу произвольности выбора точек и , можно утверждать, что и траектории всех точек тела тождественны и параллельны. Теорема доказана.

Рисунок 2.4 иллюстрирует качественную картину расположения векторов скоростей и ускорений трех точек твердого тела (само тело не показано – оно может иметь произвольную форму и размеры), совершающего в некоторый момент времени поступательное движение. Из теоремы, в частности, следует, что одинаковыми по величине и параллельными оказываются и векторы касательных и нормальных ускорений различных точек тела, так как вектор полного ускорения , а траектории точек тождественны и параллельны.