Транспортная задача

Три поставщика некоторого товара располагают следующими запасами: 1) – 120; 2) – 100; 3) – 80. Товар должен быть перевезен трем потребителям, спрос: 1) – 90; 2) – 90; 3) – 120. Известны также показатели затрат на перевозку.

Поставщики	Возможности поставщиков	Потребители и их спрос
		1	2	3
		90	90	120
1	120	7	6	4
2	100	3	8	5
3	80	2	3	7

Метод северо-западного угла

	90	90	120
120	7	6	4
	90	30
100	3	8	5
		60	40
80	2	3	7
			80

W(x) = 7*90+6*30+8*60+5*40+7*80 = 630 +180+480+200+560=2050

Метод «минимального элемента»

	90	90	120
120	7	6	4
		90	30
100	3	8	5
	10		90
80	2	3	7
	80

W1 (x) = 6*90+4*30+3*10+5*90+2*80 = 540 +120+30+450+160= 1300

Задача 2

	11	17	7	9
15	3	11	5	8
16	3	6	1	11
10	6	4	9	2

	11	17	7	9
15	3	11	5	8
16	3	6	1	11
10	6	4	9	2
3	0	0	0	0

	11	17	7	9
15	3 11	11	5	8
		4
16	3	6 9	1 7	11
10	6	4 1	9	2 9
3	0	0 3	0	0

W(x) = 3*11+11*4+6*9+1*7+4*1+2*9+0*3 = 160

Фиктивный поставщик с нулевыми тарифами рассматривается в последнюю очередь.

Заметим, что на последнем шаге всегда происходит одновременное освобождение строки и столбца; так что в благоприятном (невырожденном) случае получается m+ n −1 заполненных клеток таблицы (m – количество строк, n - количество столбцов).

Клетки таблицы, в которых записаны поставки, называются базисными, а остальные клетки - свободными. Полученный план невырожденный (m+ n −1 = 4 + 4 −1 = 7 ).

Неотрицательная матрица X , удовлетворяющая условиям задачи, называется планом (или допустимым планом) задачи. Допустимый план называется оптимальным, если он доставляет минимум целевой функции.

Допустимый план, имеющий не более m+ n −1 отличных от нуля компонентов x_{i j} , называется базисным, или опорным. Опорный план, имеющий ровно m+ n −1 отличных от нуля компонент, называется невырожденным, а если число отличных от нуля компонент меньше, чем m+ n −1 , то план называется вырожденным.

Оценим полученный план перевозок методом потенциалов. К строкам и столбцам матрицы затрат ci j ,оформленной в виде распределительной таблицы, подберём числа u_i и v_j так, чтобы u_i + v_j = c_ij для каждой занятой клетки (i, j). Числа u_i и v_j называются потенциалами.

Пусть u1 = 0 , тогда остальные потенциалы находятся последовательно следующим образом:

u₁+v₁=c₁₁ =3 v₁=3

u₁+v₂=c₁₂ =11 v₂=11

u₂+v₂=c₂₂ =6 u₂=-6

u₂+v₃=c₂₃ =1 v₃=6

u₃+v₂=c₃₂ =4 v₁=-7

u₃+v₄=c₃₄ =2 v₄=9

u₄+v₂=c₄₂ =0 u₄=9

Проверяем план на оптимальность, вычисляя оценки всех клеток таблицы. Поскольку оценки для занятых клеток равны нулю, вычисляем оценки для всех незанятых клеток:

Δ₁₃ = c₁₃ - u₁ - v₃ = 5 - 0 - 6 = -1

Δ₁₄ = c₁₄ - u₁ – v₄ = 8 - 0 - 9 = -1

Δ₂₁ = c₂₁ – u₂ – v₁ = 3 – (-5) - 3 = 5

Δ₂₄ = c₂₄ – u₂ – v₄ = 11 – (-5) - 9 = 7

Δ₃₁ = c₃₁ – u₃ – v₁ = 6 – (-7) - 3 = 10

Δ₃₃ = c₃₃ – u₃ - v₃ = 9 – (-7) - 6 = 10

Δ₄₁ = c₄₁ – u₄ – v₁ = 0 – (-11) - 3 = 8

Δ₄₃ = c₄₃ – u₄ - v₃ = 0 – (-11) - 6 = 5

Δ₄₄ = c₄₄ – u₄ – v₄ = 0 – (-11) - 9 = 2

Чтобы улучшить план перевозок, имеющий отрицательные оценки, необходимо для свободной клетки распределительной таблицы, имеющей отрицательную оценку, построить цикл пересчёта (называемый коротко циклом). Цикл позволяет перераспределить занятые клетки так, чтобы получить новый план перевозок с меньшими суммарными затратами.

Цикл - это совокупность клеток распределительной таблицы, из которых только одна клетка свободная - та, для которой строится цикл. Клетки, составляющие цикл, расположены в углах замкнутой ломаной линии, каждый отрезок которой лежит на одной и той же строке или на одном и том же столбце распределительной таблицы (т.е. наискось по строкам или столбцам отрезки ломаной не могут располагаться).

Если ломаная линия пересекается в некоторой клетке, то эта клетка не принадлежит циклу.

Для клетки (1, 3) , имеющей отрицательную оценку Δ13 = −1 , построим цикл. Он будет включать в себя клетки + (1, 3) , - (2, 3) , + (2, 2) , - (1, 2) . Величина груза, перемещаемого по клеткам цикла λ = min{4, 7} = 4 . Найденную величину прибавим в положительных клетках цикла и вычтем в отрицательных клетках цикла. При этом, очевидно, клетка (1, 2) станет свободной.

	11	17	7	9
15	3 11	11	5 4	8
16	3	6 13	1 3	11
10	6	4 1	9	2 9
3	0	0 3	0	0

u₁+v₁=c₁₁ =3 v₁=3

u₁+v₃=c₁₃ =5 v₃=5

u₂+v₃=c₂₃ =1 u₂=-4

u₂+v₂=c₂₂ =-6 v₂=10

u₃+v₂=c₃₂ =4 u₃=-6

u₃+v₄=c₃₄ =2 v₄=8

u₄+v₂=c₄₂ =0 u₄=-10

Δ₁₂ = c₁₂ - u₁ – v₂ = 11 - 0 - 10 = 1

Δ₁₄ = c₁₄ - u₁ – v₄ = 8 - 0 - 8 = 0

Δ₂₁ = c₂₁ – u₂ – v₁ = 3 – (-4) - 3 = 4

Δ₂₄ = c₂₄ – u₂ – v₄ = 11 – (-4) - 8 = 7

Δ₃₁ = c₃₁ – u₃ – v₁ = 6 – (-6) - 3 = 9

Δ₃₃ = c₃₃ – u₃ - v₃ = 9 – (-6) - 5 = 10

Δ₄₁ = c₄₁ – u₄ – v₁ = 0 – (-10) - 3 = 7

Δ₄₃ = c₄₃ – u₄ - v₃ = 0 – (-10) - 5 = 5

Δ₄₄ = c₄₄ – u₄ – v₄ = 0 – (-10) - 8 = 2

Отрицательных оценок нет, следовательно, найден оптимальный план перевозок груза с матрицей объёмов перевозок:

W(X) = 3*11+ 5*4 + 6*13+1*3+ 4 *1+ 2*9 + 0*3 = 156

15