Симплекс-метод
F(X) = 2x1+3x2 - max
x1+3x2 ≤ 18
2x1+x2 ≤ 16
x2 ≤5
3x1 ≤21
x1+3x2+x3 =18
2x1+x2+x4 = 16
x2+x5 = 5
3x1+x6 = 21
O: x3, x4, x5, x6
H: x1, x2
x3 = 18-x1-3x2 18/3
x4 = 16 – 2x1-x2 16/1
x5 = 5-x2 5/1
x6 = 21-3x1
X1 = (0;0;18;16;5;21)
O: x2, x3, x4, x6
H: x1, x5
x2 = 5-x5
x3 = 18 – x1 – 3(5-x5)
x4 = 16 – 2x1 – 5 + x5
x6 = 21-3x1
x2 = 5-x5 -
x3 = 3-x1+3x5 3/1
x4 = 11-2x1+x5 11/2
x6 = 21 – 3x1 21/3
X2 = (0;5;3;11;0;21)
O: x1, x2, x4, x6
H: x3, x5
x1 = 3-x3+3+x5
x2=5-x5
x4= 11-2(3-x3+3x5)+x5
x6 = 21-3(3-x3+3x5)
x1 = 3-x3+3x5 -
x2 = 5- x5 -
x4 = 5+2x3-5x5 5/5
x6= 12+3x3-9x5 12\9
X3 = (3;5;0;5;0;12)
O: x1, x2, x5, x6
H: x3, x4
x1 = 3-x3 +3(-1/5x4+1+2/5x3)
x2 = 5+1/5x4 -1-2/5x3
x5 = -1/5x4+1+2/3x3
x6 = 12+3x3-9(-1/5x4+1+2/5x3)
X4 (6,4,0,0,1,3)
F= 2x1+3x2 = 2(6+1/5x3-3/5x4)+3(4+1/5x4-2/5x3) = 24 – 4/5x3 – 3/5 x4
F = 24 – max
Прибыль предприятия принимает максимальное значение 24 руб при реализации 6 единиц продукции Р1 (х1=6) и 4 единицы продукции Р2 (х2=4). Т.е. остатки ресурсов S1 и S2 = 0, а S3 и S4 соответственно 1 и 3.
Критерий оптимальности решения при определении максимума линейной функции: если в выражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.
Найдем наибольшее значение линейной функции |
L = |
6 x1 |
+ 5 x2 |
+ 9 x3 |
при следующих ограничениях |
|
|
5 |
x1 |
+ |
2 |
x2 |
+ |
3 |
x3 |
|
25 |
|
|
x1 |
+ |
6 |
x2 |
+ |
2 |
x3 |
|
20 |
|
|
4 |
x1 |
|
|
|
+ |
3 |
x3 |
|
|
|
5 |
x1 |
+ |
2 |
x2 |
+ |
3 |
x3 |
+ |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
= |
25 |
|
|
x1 |
+ |
6 |
x2 |
+ |
2 |
x3 |
|
|
|
+ |
|
x5 |
|
|
|
= |
20 |
|
4 |
x1 |
|
|
|
+ |
3 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
x6 |
= |
18 |
В процессе дальнейших преобразований возможны два случая. Если в симплекс таблице, на каком-то шаге, мы получим строку L состоящую из неотрицательных элементов - задача решена, мы нашли оптимальное решение. В противном случае - функция не является ограниченной. |
Обратите внимание: При составлении исходной симплекс таблицы, коэффициенты при переменных функции L записываются с противоположными знаками, а свободный член со своим знаком. |
Шаг 1 |
За ведущий выберем столбец 3 , так как -9 наименьший элемент в L строке. Элемент L строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем. |
За ведущую выберем строку 3, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 3 строки является наименьшим. Обратите внимание, что отношение мы вычисляем только для положительных элементов столбца 3. |
базисные переменные |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
свободные члены |
отношение |
|||||
x4 |
5 |
2 |
3 |
1 |
0 |
0 |
25 |
|
|||||
x5 |
1 |
6 |
2 |
0 |
1 |
0 |
20 |
10 |
|||||
x6 |
4 |
0 |
3 |
0 |
0 |
1 |
18 |
6 |
|||||
L |
- 6 |
- 5 |
- 9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
Разделим элементы строки 3 на 3. |
базисные переменные |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
свободные члены |
отношение |
||||||||||
x4 |
5 |
2 |
3 |
1 |
0 |
0 |
25 |
|
||||||||||
x5 |
1 |
6 |
2 |
0 |
1 |
0 |
20 |
10 |
||||||||||
x6 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
6 |
6 |
||||||||||
L |
- 6 |
- 5 |
- 9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
От элементов строки 1 отнимает соответствующие элементы строки 3, умноженные на 3. |
От элементов строки 2 отнимает соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2. |
От элементов строки L отнимает соответствующие элементы строки 3, умноженные на -9. |
базисные переменные |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
свободные члены |
||||||||||
x4 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
- 1 |
7 |
||||||||||
x5 |
|
6 |
0 |
0 |
1 |
|
8 |
||||||||||
x3 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
6 |
||||||||||
L |
6 |
- 5 |
0 |
0 |
0 |
3 |
54 |
X 1 = ( 0 , 0 , 6 , 7 , 8 , 0 )
L = |
54 |
-6 x1 |
+ 5 x2 |
-3 x6 |
Значение функции L для данного решения: L (X 1) = 54 |
Шаг 2 |
За ведущий выберем столбец 2 , так как -5 наименьший элемент в L строке. Элемент L строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем. |
За ведущую выберем строку 2, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 2 строки является наименьшим. Обратите внимание, что отношение мы вычисляем только для положительных элементов столбца 2. |
базисные переменные |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
свободные члены |
отношение |
|||||||||||||||
x4 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
- 1 |
7 |
|
|||||||||||||||
x5 |
|
6 |
0 |
0 |
1 |
|
8 |
|
|||||||||||||||
x3 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
6 |
- |
|||||||||||||||
L |
6 |
- 5 |
0 |
0 |
0 |
3 |
54 |
- |
Разделим элементы строки 2 на 6. |
базисные переменные |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
свободные члены |
отношение |
|||||||||||||||||||||||||
x4 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
- 1 |
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||
x5 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x3 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
6 |
- |
|||||||||||||||||||||||||
L |
6 |
- 5 |
0 |
0 |
0 |
3 |
54 |
- |
От элементов строки 1 отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на 2. |
От элементов строки L отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на -5. |
базисные переменные |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
свободные члены |
||||||||||||||||||||
x4 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
x2 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
x3 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
6 |
||||||||||||||||||||
L |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
X 2 = ( 0 , 4/3 , 6 , 13/3 , 0 , 0 )
L = |
182/3 |
-83/18 x1 |
-5/6 x5 |
-22/9 x6 |
Значение функции L для данного решения: L (X 2) = 182/3 |
Учитывая,
что все x i |
0,
по условию задачи, наибольшее значение
функции L равно свободному члену 182/3,
т.е. мы получили оптимальное решение.
Теперь можем записать ответ. |
Ответ : |
X опт = ( 0 , 4/3 , 6 , 13/3 , 0 , 0 )
Значение функции : L = 182/3 |