Основные теоремы линейного программирования

Для обоснования методов решения задач линейного программирования сформулируем ряд важнейших теорем, опуская их аналитические доказательства. Уяснить смысл каждой из теорем поможет понятие о геометрической интерпретации решения ЗЛП, данное в предыдущем подразделе.

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества допустимых решений.

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений, и наоборот.

Графический метод

1. Определить max W(х) =х₁+ 4х₂ при ограничениях:

х₁+х₂≤4,

- х₁ + х₂ ≤ 2,

x₁х₂ ≥ 0.

Решение задачи составляют:

1. значение целевой функции W(х) =13;

2. координаты экстремальной точки и = {х₁ = 1, х₂ = 3}.

2.

Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 использую четыре вида ресурсов S1, S2, S3, S4. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице:

Вид ресурса	Запас ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление продукции
		Р1	Р2
S1	18	1	3
S2	16	2	1
S3	5	-	1
S4	21	3	-

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р1 и Р2 соответственно 2 и 3 руб.

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

F = 2x₁+3x₂ max

x₁+3x₂ ≤ 18

2x₁+x₂ ≤16

x₂≤5

3x₁≤21

x₁, x₂ ≥0

F=24

x₁=6

x₂=4

3. F=4x₁+6x₂ min

3x₁+x₂ ≥9

x₁+2x₂≥8

x₁+6x₂ ≥12

x1, x2≥0

Fmin= 26

x₁=2

x₂=3

Двойственная задача – это вспомогательная задача линейного программирования (ЛП), формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из условия исходной задачи, которая в этом случае называется прямой задачей ЛП.

Задача 1 (исходная)	Задача 2 (двойственная)
при ограничениях:	при ограничениях:
и условии неотрицательности:	и условии неотрицательности:

Свойства задач 1 и 2:

1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой – минимум.

2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.

3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида «≤», а в задаче минимизации все неравенства вида «≥» .

4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу.

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.

6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Основные теоремы двойственности:

Первая теорема двойственности – если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их линейных функций равны:

Если линейная функция одной из задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Вторая теорема двойственности – положительным (ненулевым) компонентам оптимального решения одной из взаимно двойственных задач соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи, т.е. для любых i = 1,2, …, m и j = 1, 2, …, n:

1) если x*_J > 0, то y* _m+j = 0;

2) если x*_n+i > 0, то y*_i = 0

3) если y*_i > 0, то x*_n+i = 0

4) если y*_m+j > 0, то x*_j = 0

Третья теорема двойственности – компоненты оптимального решения двойственной задачи равны значениям частных производных линейной функции F_max (b₁, b₂, …, b_m) по соответствующим аргументам, т.е.

Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальными (двойственными) оценками исходной задачи. Академик Л.В. Канторович назвал их объективно обусловленными оценками.