1. Поняття про системи числення. Перехід від однієї системи числення до іншої.

Поняття про системи числення. Десять пальців рук - це перший пристрій для рахунків, яким людина користується з доісторичних часів. Число 10 стало основою десяткової системи числення, алфавіт якої складається з десяти цифр: від 0 до 9.

У різні історичні періоди користувалися також системами числення, відмінними від десяткової. Широко застосовували дванадцяткову систему. Її походження пов'язують з рахунками на чотирьох вказівних пальцях руки, які мають 12 фаланг. До нашого часу ця система дійшла у словах „дюжина", „грос" - дюжина дюжин, „маса" - дюжина гросів, 1 фут=12 дюймів, 1 шилінг=12 пенсів. У давньому Вавилоні діяла шістдесяткова система числення. Її ми використовуємо і сьогодні. Наприклад, 1 година =60 хвилин, 1 хвилина=60 секунд, 1 градус=60 хвилин. Є змішані системи числення. Наприклад, 1 доба=24 години, 1 година=60 хвилин і т.ін. Деякі африканські народи користувались п'ятірковою системою числення, а ацтеки і майя -дванадцятковою.

Система числення - це позначення чисел та прийоми роботи з ними. Мінімальний набір знаків, якими позначається число, називається алфавітом. Кількість знаків у алфавіті називається основою системи числення.

Системи числення поділяються на позиційні і непозиційні.

Позиційні системи числення.

У позиційній системі числення значення цифри залежить від позиції, яку цифра займає в зображенні числа. У цілих числах позиції нумеруються справа наліво починаючи з нуля.

Наприклад, у числі 5842 остання цифра 2 перебуває в нульовій позиції

5842

^{3 2 1 0}

й означає кількість одиниць; передостання цифра 4 перебуває в першій позиції й означає кількість десятків і т.д.

Отже, число 5842 можна записати у вигляді такої суми:

5842 =5•1000+ 8•100+ 4•10+ 2•1 = 5•10³ + 8•10² + 4•10¹ + 2•10⁰.

3210

Щоб позначити, що число належить саме до десяткової системи числення, пишуть (5842)₁₀. Число 10 є основою десяткової системи числення. Розглянемо системи числення з основами, відмінними від 10. Алфавіт системи числення з основою р складається з р цифр: 0, 1, 2,…, р-1.

Інші цифри використовувати не можна. Найчастіше застосовують системи числення з основами 2, 8, 10, 16.

Відомо, що у десятковій системі алфавіт складається з таких цифр: 0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. У системі числення з основою р=8 алфавіт такий: 0, 1,2,

3, 4, 5, 6, 7. У системі числення з основою р=2 - такий: 0,1.

Алфавіт системи числення з основою р=16: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F, де А=10, В=11, С=12, D=13, Е=14, F=15. Шістнадцяткова система використовується, зокрема, для кодування адрес комірок оперативної пам'яті.

Непозиційні системи числення.

У непозиційній системі числення значення цифри не залежить від позиції, в якій вона розміщена у даному числі. Прикладом такої системи є римська.

Алфавіт римської системи числення:

1 - один, V - п'ять, X - десять, L - п'ятдесят, С - сто, D - п'ятсот, М -тисяча.

Довільне число утворюють, комбінуючи цифри алфавіту. Щоб обчислити десяткове значення римського числа, потрібно додати значення всіх римських цифр. Цифри в римському числі розміщені, як звичайно, в порядку спадання їхніх значень.

Однак є виняток: якщо менша цифра стоїть перед більшою, тоді від більшого числа віднімають менше. Перед більшою цифрою може бути тільки одна менша цифра. Допустимі такі комбінації:

СМ = 900, СD = 400, ХС = 90, ХL = 40, IX = 9, IV = 4.

Приклади:

XX = 10+10=20; ХСІV = 90+4=94;

LVIII = 50+5+3=58; ХLIХ = 40+9=49;

Примітка: IL - недопустима комбінація.

Правило переходу ()_р —> О₁₀

Перехід числа з системи з основою числення р в десяткову здійснюється за такою формулою:

(ааа ... ааа)„ = (а• р^к + а• р^к-1 + а • ^рк-2 + ... + а • р² + а • р¹ + а • р⁰)₁₀

^{к к-1 к-2 2 1 0} к к-1 к-2 2 1 0

Як приклад розглянемо переведення чисел з вісімкової системи у десяткову:

(144)₈ = 1-8² + 4-8' +4-8°= 1-64 + 4-8 + 4Ч = 64+32+4 = (І00)₁₀

2 1 0

Отже, для того, щоб перевести ціле число з системи, що має основу р, в десяткову систему числення, потрібно:

1. Проставити під цифрами даного числа справа наліво номер позиції починаючи з 0.

2. а) цифру найстаршого розряду числа з основою р (нехай це а) записати після знаку дорівнює;

б) поставити знак множення;

в) записати р;

г) над числом р поставити степінь - номер позиції записаної цифри а;

д) поставити знак плюс.

3. Виконати пункт 2 для цифри молодшого розряду.

4. Виконувати пункт 2 аж поки не дійдемо до цифри, позиція якої 0.

5. Виконати обчислення, записати число, поставити основу 10.

Задача. Перевести п'ятіркове число (2413)з в десяткове.

Розв'язання. (2413),=2-5³+4-5²+1-5'+3-5⁰=250+100+8=(358)ю

Задача. Перевести шістнадцяткове число (7D) д в десяткове.

Розе 'язання. (7D)₁₆=7• 16¹+13 • 16⁰= 112+13=( 125)₁₆

Правило переходу О₁₀ → О_P

Для того, щоб перевести ціле число з десяткової системи в систему з основою р, потрібно:

1. Десяткове число поділити на р.

2. Визначити остачу і частку.

3. Якщо частка менша від р, то виконати пункт 6, якщо частка більша від р, то виконати пункт 4.

4. Розглянути частку як нове число.

5. Виконати пункти 1, 2, 3.

6. Прочитати результат.

Результат - це послідовність цифр, що складається з останньої

частки та всіх остач, починаючи від останньої.

НАПРИКЛАД: Перевести десяткове число (415)₁₀ в двійкове.

4	1	5	2
4			2	0	7	2
	1	5	2			1	0	3	2
	1	4		0	7	1	0		5	1	2
		1			6			3	4		2	5	2
					1			2	1	1	2		1	2	2
								1	1	0		5	1	2	6	2
										1		4		0	6	3	2
												1			0	2	1
																1

(415)₁₀ = (110011111)₂

Виконуємо перевірку :

(110011111)₂ = 1∙ 2⁸ + 1∙ 2⁷ + 0∙ 2⁶ + 0 ∙ 2⁵ + 1∙ 2⁴ + 1∙ 2³ +1∙ 2² +1∙ 2¹ + 1∙ 2⁰ = =256+128+0+0+16+8+4+2+1=(415)₁₀