1.3. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием

  Для осуществления такого перевода необходимо делить число с остатком на основание системы счисления до тех пор, пока частное больше основания системы счисления.

Пример перевода десятичного числа 25₍₁₀₎ в двоичный вид показан на рисунке 16.

Рис. 3. Перевод числа из десятичной СС в двоичную.

Результат перевода записывается в обратном порядке, т.е. начиная с последнего результата деления.

25₍₁₀₎=11001₍₂₎

1.4. Шестнадцатеричная система счисления

Система счисления с основанием 16 интересна тем, что она включает в себя больше разрядов, чем десятичная, и соответственно десяти арабских цифр недостаточно для алфавита этой системы счисления, поэтому в качестве недостающих цифр в ней используются буквы латинского алфавита.

Для обозначения того, что запись является шестнадцатеричным числом, принято использовать также символ #.

Таблица 7.

Основание СС (k)	Цифры, составляющие алфавит СС	Пример записи
2	0, 1	&101011111
10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	351
16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f	#15f

Для шестнадцатеричной системы счисления действуют те же правила перевода, что и для всякой позиционной системы счисления.

Рис. 4. Перевод из СС с основанием 16 в СС с основанием 10.	Рис. 5. Перевод из СС с основанием 10 в СС с основанием 16.

1.5. Вавилонская (шестидесятеричная) система счисления

Исторический интерес представляет так называемая «вавилонская», или шестидесятеричная система счисления, весьма сложная, существовавшая в Древнем Вавилоне, за две тысячи лет до н.э.

Это первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно так же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 частей (градусов).

1.6. Задачи

1. Числа в двоичной системе счисления имеют вид 11₍₂₎ и 101₍₂₎ . Чему равно их произведение в десятичном виде? Варианты: 60, 15, 1111, 8.

2. Чему равна разность 25 - &1101. Варианты: &1100, 13.

3. В десятичной - 8;

• в двоичной - [ ];

• в восьмеричной - [ ];

• в шестнадцатеричной - [ ].

4. Количество чисел, которое можно закодировать нулями и единицами в 10 позициях, равно: 128, 256, 1024, 2048?

5. Укажите истинное высказывание:

• #a < &1100;

• #a > &1100;

• #a = &1100.

6. Дано равенство 23_(k)+33_(k)=122_(k). Чему равно k? Варианты: 2, 3, 4, 10.

7. Какое число предшествует шестнадцатеричному числу #6afa? Варианты: #6afb, #6a10, #6af9, #5afa.

8. Шестнадцатеричное число #4d в десятичной системе счисления это: 43, 77, 177, 176?

9. Прочитайте стихотворение. Переведите встречающиеся в нем числительные из двоичной системы счисления в десятичную.

Необыкновенная девчонка А. Н. Стариков
Ей было тысяча сто лет, Она в 101-ый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий.	Она ловила каждый звук Своими десятью ушами,  И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно,…  Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ.

10. За праздничным столом собрались 4 поколения одной семьи: дед, отец, сын и внук. Их возраст в различных системах счисления записывается так 88 лет, 66 лет, 44 года и 11 лет. Сколько им лет в десятичной системе счисления, если через год их возраст в тех системах счисления можно будет записать как 100?

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10² + 5•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+ ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Пример.