Аналитическое решение:

Приближение равнопеременного движения широко используется при описании динамики транспортных объектов. Его отличительной особенностью является линейный закон изменений скорости движения. На небольшом интервале наблюдений линейная модель служит хорошим приближением реальной более сложной функциональной зависимости скорости движения от времени. Линейное приближение позволяет оценивать параметры движения и прогнозировать динамику развития транспортных процессов.

Линейная модель изменений скорости движения объекта представляет собой суперпозицию полиномов нулевого и первого порядков, взятых с весами и , соответственно. Она имеет вид

.

Коэффициенты модели и характеризуют скорость в момент времени и ускорение движения объекта, соответственно.

Оценки коэффициентов теоретической модели , вычисляются по результатам наблюдений, представленных последовательностью значений скорости движения объекта в дискретные моменты времени . Их оптимальные значения определяются условиями минимума квадратичного функционала, представляющего собой сумму квадратов отклонений результатов наблюдений от принятой теоретической модели:

.

Условия равенства нулю производных , приводят к системе линейных алгебраических уравнений для вычислений коэффициентов модели

(1)

Наличие верхних индексов подчёркивает зависимость коэффициентов модели от объёма выборки . В канонической форме записи система уравнений имеет вид

Процедура переноса начала отсчёта времени в центр выборки, известная как центрирование аргумента, уменьшает значения коэффициентов системы уравнений. Условие ортогональности полиномов и на множестве отсчётов времени

позволяет записать уравнение для вычислений абсциссы центра выборки

. (2)

Перенос начала отсчёта аргумента в центр выборки обращает в ноль второй член первого уравнения и первый - второго. Матрица системы уравнений получает диагональный вид и система распадается на два независимых уравнения для вычислений искомых коэффициентов линейной модели

,

.

Абсцисса центра выборки является средним значением выборки отсчётов времени

.

Необходимость в обработке информации в реальном масштабе времени в информационно-измерительных каналах систем управления предопределила интерес к рекуррентным алгоритмам вычислений коэффициентов модели, позволяющим получать грубые оценки на начальном этапе обработки информации и постепенно уточнять их по мере поступления новых результатов наблюдений.

С учётом условия ортогональности (2) матрица система уравнений (1) может быть представлена в треугольном виде

(3)

Левую часть первого уравнения разложим в ряд Тейлора в точке . Уравнение получает вид

.

Разрешив относительно , приходим к рекуррентному соотношению вида

Вынесем последнее слагаемое из-под знака суммы

Записанная в правой части равенства сумма первых разностей равна нулю, поскольку оценка является средним значением для выборки объёмом отсчётов контролируемого параметра процесса.

После выполненных преобразований рекуррентное соотношение получает компактный вид

.

Новое значение оценки для выборки объёмом отсчётов контролируемой величины равно сумме прежнего её значения для выборки объёмом отсчётов и небольшого поправочного члена, который определяется разностью между вновь поступившим отсчётом и прежним значением оценки.

Левую часть второго уравнения системы (3) разложим в ряд Тейлора в точке , . Уравнение получает вид

В соотношении отсутствует третье слагаемое, оно равно нулю в силу ортогональности базисных функций (2).

Разрешив относительно искомой величины, приходим к рекуррентному соотношению следующего вида

.

Выделив отдельно последнее слагаемое, преобразуем сумму, записанную в числителе соотношения:

.

Остальные слагаемые в правой части соотношения равны нулю в силу условий ортогональности базисных полиномов и оптимальности оценок для выборок объёмом и отсчётов контролируемого параметра процесса.

По завершении преобразований соотношение приобретает компактный вид

.

Алгоритм вычислений реализует идею метода прогноза-коррекции: новое значение производной для выборки объёмом отсчётов контролируемого параметра процесса равно сумме прежнего её значения и небольшого поправочного члена, который определяется разностью между вновь поступившим отсчётом и прогнозируемым значением, вычисленным по значениям коэффициентов модели на предыдущем шаге вычислений. В случае их совпадения поправка равна нулю и оценка сохраняет своё прежнее значение.

Положение центра выборки постепенно смещается по мере поступления новых отсчётов контролируемой величины. Его абсцисса может быть вычислена с помощью рекуррентного соотношения

.

Для центрированной суммы квадратов отсчётов времени справедливо следующее рекуррентное соотношение

.

Момент окончания торможения отцепа определяется условием равенства расчётного и фактического значений скорости движения отцепа на выходе из парковой тормозной позиции. Управление тормозными замедлителями базируется на прогнозе движения отцепа по полученным характеристикам торможения , откуда следует выражение для момента окончания торможения

.

Применение линейной модели позволяет прогнозировать динамику процесса, учитывая при этом инерционность исполнительных механизмов в системах управления транспортными технологическими процессами. Применение оптимальных методов обработки информации многократно снижает влияние случайных факторов и повышает точность управления.

Таблица результатов
Время, T,с		Скорость отцепа, м/с		Расчетная скорость, V, м/с		Ускорение, а,		Tр,с
5,50		3,35		3,35		0,000000000		∞
5,60		3,35		3,350000000		0,000000000		∞
5,70		3,35		3,350000000		0,000000000		∞
5,80		3,27		3,310000000		-0,400000000		10,775000000
5,90		3,27		3,290000000		-0,200000000		15,950000000
6,00		3,27		3,280000000		-0,100000000		26,300000000
6,10		3,27		3,275000000		-0,050000000		47,000000000
6,20		3,21		3,242500000		-0,325000000		11,784615385
6,30		3,21		3,226250000		-0,162500000		17,969230769
6,40		3,21		3,218125000		-0,081250000		30,338461538
6,50		3,21		3,214062500		-0,040625000		55,076923077
6,60		3,15		3,182031250		-0,320312500		11,687804878
6,70		3,15		3,166015625		-0,160156250		17,775609756
6,80		3,15		3,158007813		-0,080078125		29,951219512
6,90		3,15		3,154003906		-0,040039063		54,302439024
7,00		3,12		3,137001953		-0,170019531		16,892820218
7,10		3,12		3,128500977		-0,085009766		28,185640437
7,20		3,12		3,124250488		-0,042504883		50,771280873
7,30		3,12		3,122125244		-0,021252441		95,942561746
7,40		3,06		3,091062622		-0,310626221		11,587904034
7,50		2,95		3,020531311		-0,705313110		8,081167547
7,60		2,87		2,945265656		-0,752656555		7,818807487
7,70		2,81		2,877632828		-0,676328278		7,980500791
7,80		2,74		2,808816414		-0,688164139		7,837838203
7,90		2,63		2,719408207		-0,894082069		7,199405747
8,00		2,49		2,604704103		-1,147041035		6,724632826
8,10		2,41		2,507352052		-0,973520517		6,842911658
8,20		2,3		2,403676026		-1,036760259		6,660997459
8,30		2,17		2,286838013		-1,168380129		6,430209258
8,40		2,08		2,183419006		-1,034190065		6,450907420
8,50		1,96		2,071709503		-1,117095032		6,280336031
8,60		1,83		1,950854752		-1,208547516		6,121286910
8,70		1,8		1,875427376		-0,754273758		6,395467154
8,80		1,69		1,782713688		-0,927136879		6,128508801
8,90		1,66		1,721356844		-0,613568440		6,349712616
9,00		1,55		1,635678422		-0,856784220		6,008504256
9,10		1,47		1,552839211		-0,828392110		5,925932607
9,20		1,42		1,486419605		-0,664196055		5,931227502
9,30		1,42		1,453209803		-0,332098027		6,262455004
9,40		1,42		1,436604901		-0,166049014		6,924910007
9,50		1,42		1,428302451		-0,083024507		8,249820015
9,60		1,42		1,424151225		-0,041512253		10,899640029
9,70		1,38		1,402075613		-0,220756127		6,415379408
9,80		1,38		1,391037806		-0,110378063		7,230758817
9,90		1,38		1,385518903		-0,055189032		8,861517634
10,00		1,38		1,382759452		-0,027594516		12,123035267
	График фактической и прогнозированной скорости отцепа
График прогноза времени растормаживания отцепа