Аналогично,
.
Так
как
вычисляется при неизменном значении
переменной у,
а
– при неизменном значении переменной
х,
определение частных производных можно
сформулировать так: частной производной
по х
функции
называется обычная производная этой
функции по х,
вычисленная в предположении, что у
есть постоянная; частной производной
по у
функции
называется ее производная по у,
вычисленная в предположении, что х
– постоянная.
Пример 1
Найти
частные производные функции
.
Решение
Пример 2
Показать, что
функция
удовлетворяет уравнению
.
Решение
Найдем частные производные
,
.
Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:
что и требовалось
доказать.
6.2. Дифференциал функции двух переменных
Частным
дифференциалом
функции
называется произведение частной
производной на соответствующее
произвольное приращение независимой
переменной:
выражение
называется частным
дифференциалом функции
по
переменной х;
выражение
называется
частным
дифференциалом функции
по
переменной у.
Пример 1
Найти частные дифференциалы функции
Решение
,
.
Полный дифференциал функции равен сумме ее частных дифференциалов:
.
Пример 2
Найти
дифференциал
функции
.
Решение
Найдем частные производные
,
.
Подставим частные производные в формулу полного дифференциала, получим
.
6.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Прямая линия
называется касательной
к поверхности
в некоторой точке
,
если она является касательной к какой-либо
кривой, лежащей на поверхности и
проходящей через точку
.
Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .
Если уравнение
поверхности задано неявно, т.е.
,
то уравнение касательной плоскости к
поверхности в точке
имеет вид
Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид
.
Нормалью к поверхности называют прямую, перпендикулярную к касательной плоскости в точке касания.
Если уравнение поверхности задано неявно, т.е. , то уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид
.
Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение нормали имеет вид
.
Пример
Составить уравнения
касательной плоскости и нормали к
поверхности
в точке
.
Решение
Найдем частные
производные
и
вычислим их значения в точке
:
.
Уравнение касательной плоскости:
или
.
Уравнение нормали:
.
6.4. Производная по направлению и градиент
Пусть функция
дифференцируема в точке
.
Производная
функции
по
направлению вектора
находится
по формуле
,
где
– единичный вектор заданного направления
,
,
– направляющие косинусы вектора, которые
находятся по формулам
.
Производная по направлению является скоростью изменения функции в точке по направлению .
Абсолютная величина производной по направлению определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения функции (возрастание или убывание).
Градиентом
функции
в точке
называется вектор, обозначаемый символом
и равный
,
т.е. вектор, проекции которого на координатные оси Ох, Оу, Oz равны соответственно частным производным по х, у, z в точке от функции .
Градиент U в данной точке по численному значению и по направлению характеризует наибольшую скорость возрастания величины U.
Пример
Для функции
в точке
найти градиент и производную по
направлению
.
Решение
Градиент находим
по формуле
,
где
тогда
.
Производная по
направлению:
,
где
,
тогда
