1.5. Извлечение корня из комплексного числа
Задача
извлечения корня является задачей,
обратной задаче возведения в степень,
так как по определению извлечь корень
целой положительной степени n
из комплексного числа z
означает следующее: найти такое
комплексное число
,
чтобы выполнялось равенство вида
.
Пусть
;
,
тогда имеем
.
Отсюда, используя правило равенства двух комплексных чисел, получим
;
.
Таким образом, получим
.
(1.5)
Очевидно,
что при
получим уже найденные ранее корни в
силу 2π - периодичности функций
и
.
Следовательно, корень n‑й
степени из комплексного числа имеет
ровно n
различных
значений.
Легко
заметить, что все корни
на комплексной плоскости будут являться
вершинами правильного n-угольника,
вписанного в окружность радиуса
с центром в начале координат (см. примеры
5, 6).
Пример 5.
Вычислить
.
Решение.
Запишем комплексное число
в тригонометрической форме:
;
;
,
и воспользуемся формулой (1.5):
;
откуда получим
;
;
;
;
;
.
При
корень
совпадает с
,
корень
с
и т.д. Все найденные корни изображены
на рис. 6.
П
ример 6.
Найти
.
Решение.
Запишем комплексное число
в тригонометрической форме:
.
Тогда по формуле (1.5) получим
;
;
;
(рис.
7).
1.6. Решение алгебраических уравнений
Если
множество вещественных чисел считать
подмножеством комплексных чисел, а
любое вещественное число x
– комплексным с нулевой мнимой частью:
,
то тогда из любого вещественного числа,
в том числе и из отрицательного, можно
извлечь квадратный корень (имеющий два
различных значения). Таким образом,
любое квадратное уравнение на множестве
комплексных чисел будет иметь хотя бы
одно решение.
В высшей алгебре справедливо утверждение, которое называется основной теоремой алгебры:
уравнение вида
всегда имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
Пример 7.
Решить уравнение
.
Решение.
Воспользуемся общей формулой корней
квадратного уравнения
в предположении ее справедливости и
при отрицательном дискриминанте
:
,
где
.
В
заданном уравнении имеем
.
Для
вычисления
считаем D
комплексным числом и воспользуемся
формулой (1.5).
.
Тогда получим
,
или
при
:
;
при
:
.
Окончательно получим:
.
Сделаем проверку:
;
.
Пример 8.
Решить уравнение
.
Решение.
Это биквадратное уравнение. Сделаем
замену
.
Тогда получим
.
По
теореме Виета:
.
1) 
;
2) 
.
П
ример 9.
Решить уравнение
.
Решение. Заменим в уравнении , тогда имеем
.
;
.
1) Запишем
в тригонометрической форме:
,
,
.
.
;
;
2) 
;
,
;
;
;
(см.рис.8).
1.7. Изображение областей на комплексной плоскости и решение уравнений с комплексными числами
Пример 10. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, заданных неравенствами
а)
.
Решение.
так как
,
то заданное неравенство примет вид
Эти
неравенства задают все точки плоскости,
лежащие вне круга радиуса
,
и одновременно внутри круга
,
включая их границы с общим центром в
начале координат (рис. 9).
б)
.
Решение.
Имеем
.
;
,
то есть имеем область, ограниченную
двумя лучами
и
,
где
и
(рис. 10).
Пример 11.
На комплексной плоскости найти множество
точек, удовлетворяющих неравенству
.
Решение.
тогда по формуле (1.1) имеем
;
;
;
.
Разделив
последнее неравенство на 12, получим
неравенство
,
которое задает область внутри эллипса
(границы не входят) (рис. 11).
Пример 12.
Выяснить геометрический смысл соотношения
.
Решение. Имеем
,
;
.
Из
последнего неравенства следует, что
.
Далее возведем обе части неравенства
в квадрат:
;
— гипербола.
Отсюда, используя условие , получим, что область лежит внутри левой ветви гиперболы (рис.12).
Пример 13.
Найти комплексное число z
из уравнения
.
Решение.
Пусть
;
.
Тогда имеем
.
Учитывая, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, тогда полученное уравнение равносильно системе уравнений:
Отсюда получим
.
Таким
образом, решением уравнения является
число
.
Пример 14.
Найти комплексное число z
из уравнения
.
Решение. Пусть .
Тогда
;
.
Подставим найденные значения в уравнение:
.
Приравняем к нулю вещественную и мнимую часть комплексного числа, стоящего в левой части:
Из
второго уравнения получаем:
или
.
1) 
2) 
Таким образом, получим три решения данного уравнения:
