1.5 Дисперсійний аналіз

Дисперсійним аналізом називається статистичний метод аналізу результатів випробувань, ціль якого – оцінити вплив одного або декількох якісних факторів на величину . Метод заснований на порівнянні дисперсій. Будемо вважати, що на випадкову величину впливає деякий якісний фактор , що має рівнів: , , …, . Потрібно порівняти «факторну дисперсію», тобто розсіювання, породжуване зміною рівня фактора, і «залишкову дисперсію», обумовлену випадковими причинами. Якщо їхнє розходження значиме, то фактор істотно впливає на і при зміні його рівня групові середні для кожного рівня фактора розрізняються значимо. Будемо вважати, що кількість спостережень на кожному рівні фактора однакова й дорівнює . Оформимо результати спостережень у вигляді таблиці:

Номер випробування	Рівні фактора
			…
1 2 … q	x11 x21 … xq1	x12 x22 … xq2	… … … …	x1p x2p … xqp
Групове середнє			…

З метою оцінки впливу фактора на зміни параметра розраховується величина , де . Для розрахунків і використовуються формули: , , , .

Оскільки відношення двох вибіркових дисперсій розподілено за законом Фішера, отримане значення порівнюють зі значенням функції розподілу в критичній точці , яка відповідає обраному рівню значимості . Якщо , то фактор істотно впливає і його варто враховувати, у противному випадку його впливом можна зневажити.

Приклад 1.5.1 У трьох філіях одного з банків були організовані три рівні різних послуг для клієнтів. Після цього протягом п’яти місяців вимірювалися обсяги внесків (тис. грн.). Перевірити нульову гіпотезу про вплив організації послуг на обсяги внесків при рівні значимості 0,05.

Місяць виміру	Рівні фактора
1	2	3	1
2	4	5	4
3	3	4	5
4	2	3	10
5	1	6	3
Групове середнє	2,4	4,2	4,6

Розв’язання. Знаходимо загальне середнє: .

Для розрахунків складемо таблицю квадратів варіант:

Місяць виміру	Рівні фактора
1	4	9	1
2	16	25	16
3	9	16	25
4	4	9	100
5	1	36	9
	34	95	151

; ;

Визначаємо факторну й залишкову дисперсії:

. Знаходимо . Для рівня значимості , ступенів вільності 2 та 12 знаходимо із таблиці розподілу Фішера: . У зв’язку з тим, що , нульову гіпотезу про істотний вплив організації послуг на обсяги внесків відкидаємо.