1.3.1 Перевірка гіпотези про математичне сподівання нормально розподіленої сукупності
Якщо
дисперсія сукупності відома і дорівнює
,
то при
і
за статистичну характеристику береться
вибіркова функція
Критична область визначається залежно
від значення
і відповідно до рівня значущості .
Можливі три випадки.
1. Якщо
критична область правостороння. Її
границя
визначається за умовою:
.
Тоді
2.
Якщо
,
то критична область лівостороння,
3.
Якщо
то критичній області належать значення
При цьому
Коли
дисперсія сукупності невідома, то для
перевірки гіпотези використовується
вибіркова функція
розподілена за законом Стьюдента з n–1
ступенями вільності. Вигляд критичної
області визначають так само, як і в
попередніх випадках, а границю знаходять
за допомогою таблиць розподілу Стьюдента
з відповідною кількістю ступенів
вільності. Якщо n
> 20, то розподіл Стьюдента апроксимується
нормальним розподілом з нульовим
математичним сподіванням і одиничною
дисперсією.
Приклад
1.3.1
Під час перевірки діаметрів 17 установочних
кілець було здобуто такі числові
характеристики:
мм і
Вважаючи, що розмір, який контролюється,
має нормальний закон розподілу, перевірити
гіпотезу
мм при
мм, якщо
Розв’язання.
Статистичною характеристикою гіпотези
є вибіркова функція
яка розподілена за законом Стьюдента
з
ступенями вільності.
Згідно з виглядом альтернативної
гіпотези, критична область двостороння
(рис. 1.5).
Границя критичної області
Рисунок 1.5 – Вигляд критичної області
Границя
відшукується за таблицями функції
розподілу Стьюдента при 16 ступенях
вільності.
Обчислимо реалізацію вибіркової функції:
Реалізація вибіркової функції не
належить до критичної області, і гіпотеза
приймається.
1.3.2 Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох нормально розподілених сукупностей
Нехай
задано дві нормально розподілені
сукупності. На підставі вибірок об’ємом
із
цих
сукупностей потрібно перевірити гіпотезу
за альтернативної гіпотези
.
Статистичною характеристикою для
перевірки гіпотези
буде вибіркова функція
При
побудові відношення чисельник
має бути не меншим від знаменника. Якщо
гіпотеза
правильна, то вибіркова функція F
має розподіл Фішера з
ступенями вільності. Критична область
правостороння і визначається умовою
Приклад
1.3.2
На підприємстві розроблено два методи
виготовлення виробів. Для перевірки
цих методів на матеріалоємність зібрані
дані про витрати сировини на одиницю
продукції у процесі роботи обома
методами. Витрати сировини за застосування
першого методу становили: 2,0; 2,7; 2,5; 2,9;
2,3; 2,6; а другого – 2,5; 3,2; 3,5; 3,8; 3,5. Вважаючи,
що розподіл у сукупностях нормальний
і дисперсії у сукупностях однакові,
перевірити гіпотезу
при
Розв’язання.
Для вибіркової функції
яка розподілена за законом Стьюдента
з
ступенями вільності
потрібно знайти критичну область (вона
двостороння) і знайти фактичну реалізацію.
Знайдемо числові характеристики
вибіркових сукупностей:
За
таблицями розподілу Стьюдента для 9
ступенів вільності
знаходимо
Обчислимо значення статистичної
характеристики:
Отже, значення характеристики належить критичній області, і гіпотеза відхиляється.