1.2 Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу

Оцінка параметра розподілу сукупності у загальному випадку є випадковою величиною, яка визначається за даними вибірки і використовується замість невідомого значення параметра, який потрібно оцінити. Оцінка називається обґрунтованою, якщо вона збігається за ймовірністю до відповідного параметра при Оцінка називається незміщеною, якщо її математичне сподівання збігається зі значенням параметра. У разі вибору з усіх відомих незміщених обґрунтованих оцінок певної оцінки потрібно зазначити критерій, за яким зроблено вибір. Найчастіше застосовується критерій, який полягає у виборі оцінки, що має найменшу можливу дисперсію. Така оцінка називається ефективною.

Нехай маємо точкову оцінку параметра . Знайдемо для параметра інтервальну оцінку, скориставшись умовою В такому разі називається точністю оцінки, а  – її надійністю. Тоді інтервальна оцінка (довірчий інтервал) для параметра  набуває вигляду . Параметр  – це випадкова величина, надійність  можна розглядати як імовірність того, що довірчий інтервал покриває дійсне значення параметра. Величини тісно зв’язані з об’ємом вибірки Якщо задати дві з цих величин, то можна знайти третю. Для цього потрібно знати закон розподілу для

Нехай ця величина розподілена за нормальним законом. Побудуємо інтервальну оцінку математичного сподівання за значенням вибіркового середнього для двох випадків:

1. Якщо відомо середнє квадратичне відхилення , то довірчий інтервал для математичного сподівання має вигляд: де – об’єм вибірки, – таке значення аргументу функції Лапласа , для якого , тобто .

2. Параметр нормального закону розподілу ознаки генеральної сукупності невідомий. У цьому випадку інтервальна оцінка параметра із заданою надійністю визначається за формулою: , де , – точкова оцінка параметра , виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення – критична точка розподілу Стьюдента, значення якої можна знайти з таблиць по відомим і .

Для оцінки генерального середнього квадратичного відхилення при заданій надійності можна побудувати довірчий інтервал де – значення, що визначається таблицями.

Приклад 1.2.1 Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини, якщо об’єм вибірки , , , а довірча ймовірність .

Розв’язання. Визначимо , при якому : . Тоді , або .

Приклад 1.2.2 Дана вибірка значень нормально розподіленої випадкової величини: 2, 3, 3, 4, 2, 5, 5, 5, 6, 3, 6, 3, 4, 4, 4, 6, 5, 7, 3, 5. Знайти с довірчою ймовірністю границі довірчих інтервалів для математичного сподівання та дисперсії.

Розв’язання. Об’єм вибірки . Знайдемо , . За таблицями визначимо ; . Тоді , – довірчий інтервал для математичного сподівання; ; ; – довірчий інтервал для дисперсії.

1.3 Перевірка статистичних гіпотез

Статистичною називається гіпотеза, яка стосується виду або параметрів розподілу випадкової величини і яку можна перевірити на підставі результатів спостереження у випадковій вибірці. Перевіряючи статистичні гіпотези за результатами випадкової вибірки, завжди ризикують прийняти хибне рішення. Але в такому випадку можна обчислити ймовірність прийняття хибного рішення і, якщо вона мала, ризик помилки буде невеликим. Помилки, яких можна припуститися, бувають двох родів. Помилка першого роду полягає в тому, що перевірювана гіпотеза відхиляється, тоді як вона правильна. Помилка другого роду полягає у тому, що гіпотеза приймається, тоді як вона хибна, а правильною є деяка гіпотеза Ця гіпотеза, яка протиставляється гіпотезі називається альтернативною. Статистичні гіпотези поділяються на прості і складні. Проста гіпотеза однозначно визначає закон розподілу випадкової величини. Для побудови статистичного критерію, який дає змогу перевірити деяку гіпотезу необхідно вибрати статистичну характеристику гіпотези – деяку вибіркову функцію, визначити допустиму ймовірність помилки першого роду  (рівень значущості), сформулювати альтернативну гіпотезу знайти критичну область для статистичної характеристики, щоб мінімізувати ймовірність помилки другого роду. В критичній області гіпотеза відхиляється на користь гіпотези Критична область визначається так, щоб імовірність потрапляння в неї статистичної характеристики за умови, що правильна гіпотеза дорівнювала  – заданому рівню значущості. Крім того, необхідно, щоб ймовірність помилки другого роду була мінімальною.

Статистичні гіпотези поділяються на параметричні і непараметричні. Параметричні гіпотези передбачають, що вигляд закону розподілу відомий і перевірка зводиться до перевірки значень невідомих параметрів.