42

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

Методичні вказівки та індивідуальні завдання для самостійної роботи з дисципліни

“ Математична статистика ”

для студентів економічних спеціальностей

(денної форми навчання)

2008

Методичні вказівки та індивідуальні завдання для самостійної роботи з дисципліни “Математична статистика” для студентів економічних спеціальностей денної форми навчання / Укл. Коротунова О. В., Щолокова М.О. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2008. – 42 с.

Укладачі: Коротунова О. В., доцент, к.т.н

Щолокова М.О., доцент, к.т.н

Експерт: Гузь П. В., професор, д.е.н

Рецензент: Мастиновський Ю.В, доцент, к.т.н.

Відповідальний за випуск: Коротунова О. В., доцент, к.т.н

Затверджено на засіданні

кафедри прикладної математики

Протокол № від

Схвалено радою

радіоприладобудівного інституту ЗНТУ

Протокол № від

ЗМІСТ

1 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ТА ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ 4

1.1 Первинна обробка вибіркових даних 4

1.2 Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу 8

1.3 Перевірка статистичних гіпотез 10

1.3.1 Перевірка гіпотези про математичне сподівання нормально розподіленої сукупності 11

1.3.2 Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох нормально розподілених сукупностей 12

1.3.3 Критерій Персона 14

1.4 Елементи теорії кореляції 15

1.5 Дисперсійний аналіз 20

2 ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ 23

ЛІТЕРАТУРА 42

1 Теоретичні відомості та приклади розв’язання задач

1.1 Первинна обробка вибіркових даних

Генеральною сукупністю в математичній статистиці називається множина однотипних об’єктів, кількісна чи якісна ознака яких підлягає вивченню. Підмножина об’єктів із генеральної сукупності, називається вибірковою сукупністю або вибіркою. Кількість об’єктів у вибірці називається її об’ємом. Вважаємо, що ознака, яка вивчається, є випадковою величиною Х із функцією розподілу . Нехай зустрічається у вибірці разів, – …, – разів. Числа …, називаються варіантами, …, – частотами. Розмістивши числа …, в порядку зростання і записавши відповідні частоти, з якими зустрічаються ці значення, дістанемо варіаційний, або статистичний, ряд:

			…
Частоти			…

На підставі такого ряду можна побудувати емпіричну функцію розподілу Якщо , то емпірична функція розподілу збігається до теоретичної функції розподілу.

Статистичний ряд графічно подається полігоном частот. Щоб побудувати його, на осі абсцис відкладають значення реалізацій, а на осі ординат – відповідні їм частоти (відносні частоти). Отримані точки сполучають відрізками прямих.

У разі, коли Х – неперервна величина і об’єм вибірки великий, результати вибірки подають інтервальним рядом. Для цього область реалізацій розбивають на k інтервалів і для кожного інтервалу визначають частоти. Довжину інтервалів найчастіше беруть однаковою ( ). Отриманий ряд геометрично подається гістограмою. Для побудови її на осі абсцис відкладають інтервали, а на них як на основах будують прямокутники, висота яких дорівнює (щільність частоти). Гістограма дає певне уявлення про графік щільності розподілу.

Для вибіркової сукупності обчислюють числові характеристики – вибіркові випадкові функції: вибіркову середню вибіркову дисперсію тощо. Реалізації цих вибіркових функцій знаходять за формулами, вигляд яких залежить від того, в якій формі подано вибіркові дані. Якщо вибіркові дані не згруповано, то Якщо вибіркові дані зведено у статистичний ряд, то Для практичних обчислень вибіркової дисперсії більш зручно використовувати формулу

Якщо дані подаються інтервальним рядом, то перехід до статистичного ряду виконують, обчислюючи для кожного інтервалу його середину.

Приклад 1.1.1 У цеху встановлено 5 верстатів. Протягом 25 днів реєструвалась кількість верстатів, які не працювали. Здобуто такі значення: 0, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 2, 0, 0, 2, 2, 3, 3, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 5, 0. Обчислити , .

Розв’язання. На підставі вибіркових даних складемо статистичний ряд:

	0	1	2	3	4	5
	5	7	7	4	1	1

Знайдемо числові характеристики вибіркової сукупності.

Вибіркову дисперсію визначимо за формулою : Отже,

Приклад 1.1.2 За заданим дискретним статистичним розподілом вибірки побудувати емпіричну функцію розподілу та полігон частот:

	–6	–4	–2	2	4	6
Частоти	5	10	15	20	40	10

Розв’язання. Згідно з означенням та властивостями має такий вигляд (рис. 1.1):

Рисунок 1.1 – Емпірична функція розподілу

Полігон частот зображено на рис. 1.2.

Рисунок 1.2 – Полігон частот

Приклад 1.1.3 За заданим інтервальним статистичним розподілом вибірки побудувати функцію та гістограму частот:

Інтервал	0-4	4-8	8-12	12-16	16-20	20-24
	5	7	7	4	1	1

Розв’язання. Гістограма зображена на рис. 1.3, а – на рис. 1.4.

Рисунок 1.3 – Гістограма частот

Рисунок 1.4 – Емпірична функція розподілу

Приклад 1.1.4 Із генеральної сукупності зроблено вибірку обсягом n=32. Здобуто такі реалізації випадкової величини: 2,2; 7,1; 6,3; 3,9; 5,9; 5,6; 5,6; 4,7; 7,9; 3,2; 6,1; 5,5; 6,4; 6,0; 6,9; 4,7; 6,4; 6,9; 6,7; 7,9; 4,2; 6,7; 6,0; 9,2; 5,5; 6,5; 3,5; 4,9; 7,2; 4,9; 8,9; 5,7. Скласти інтервальний ряд і знайти .

Розв’язання. Для побудови інтервального ряду розбиваємо область реалізацій на 7 інтервалів з однаковими довжинами інтервалів: Частоти кожного інтервалу знайдемо, визначивши для кожного значення інтервал. Якщо значення потрапляє на межу, то збільшуємо на 1 частоту нижнього інтервалу.

Інтервал	2,2-3,2	3,2-4,2	4,2-5,2	5,2-6,2	6,2-7,2	7,2-8,2	8,2-9,2
Частота	2	3	4	9	10	2	2

Для обчислення числових характеристик розподілу перейдемо до статистичного ряду. Для цього складемо таблицю, в якій запишемо середини інтервалів і їхні частоти .

	2,7	3,7	4,7	5,7	6,7	7,7	8,7
	2	3	4	9	10	2	2