1. Случайные события. Сумма и произведение событий. Классическое определение вероятности.

Опр.1. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти либо не произойти.

Опр.2. Достоверным событием называется такое событие, которое при осуществлении совокупности условий обязательно произойдёт

Опр.3. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении совокупности условий .

В дальнейшем «осуществление совокупности условий » будем назывть испытанием, а результат испытания – исходом.

Будем обозначать случайные события буквами При этом - достоверное событие, - невозможное событие.

Сумма и произведение событий

Опр.4. Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий и , называется суммой событий и и обозначается .

Опр.5. Событие, состоящее в наступлении обоих событий и B, называется произведением этих событий и обозначается .

Опр.6. Два события называются противоположными, если для них одновременно выполняются два соотношения:

- невозможное событие.

Опр.7. Два события называются несовместными, если их совместное появление невозможно, т. е. .

Полная группа событий

Опр.8. События образуют полную группу событий, если при осуществлении совокупности условий хотя бы одно из этих событий произойдет.

Рассмотрим пример. Пусть имеется урна с шарами, из них шаров с номерами: 1,2, . . . , - белые, остальные – черные. Назовем элементарным исходом (элементарным событием) извлечение (наудачу) какого-либо шара из урны. Появление шара с номером от 1 до включительно – событие, благоприятствующее появлению белого шара.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события называется отношение числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев , образующих полную группу равновозможных несовместных событий.

Очевидно, имеет место неравенство

Вероятность достоверного события

Вероятность невозможного события

Замечание. Имеется ряд недостатков классического определения вероятности. Например, число возможных исходов испытания может быть бесконечно; кроме того, часто трудно указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Поэтому наряду с классическим существуют и другие определения вероятности. В частности, применяется определение геометрической вероятности.

Пример. На отрезке случайно берётся точка. Найти вероятность того, что точка окажется на отрезке где Ответ .

Статистическая вероятность

Пусть – достаточно большое число испытаний, - число испытаний, где событие появилось. Относительной частотой события называется число . За статистическую вероятность принимают число , или близкое к нему.

Существует ещё понятие аксиоматической вероятности.

2.Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса.

Теорема 1. Пусть события несовместные. Тогда вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Умножение вероятностей независимых событий

Определение 1. Событие называется независимым от события , если вероятность появления события не зависит от того, произошло событие или не произошло.

Теорема 3. Если случайные события независимы, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий:

: 2 урны с шарами.

Зависимые события. Условная вероятность

Определение 2. Событие называется зависимым от события , если вероятность появления события зависит от того, произошло или не произошло.событие

Определение 3. Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.

Теорема 4. Вероятность совмещения (произведения) двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

или

Вероятность суммы совместных событий

Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Доказательство. Событие наступит, если наступит одно из трёх несовместных событий: Тогда

. (1)

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий:

. По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Отсюда

(2)

Аналогично

)= (3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим утверждение теоремы.

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условнве вероятности события .

Теорема 6. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий этих событий на соответствующую условную вероятность события

(4)

Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Рассмотрим другую задачу. Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие . Задача: найти условные вероятности . Решение:

,

Отсюда

Подставляя сюда по формуле (4), получим условную вероятность гипотезы

Пример. Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть события – независимые в совокупности, тогда вероятность появления хотябы одного события

,