2. Уравнение распространения тепла в стержне

2.1. Однородные граничные условия.

Рассматривается тонкий однородный стержень, боковая поверхность которого теплоизолирована. Обозначим – температура стержня в сечении с координатой в момент времени Пусть левый конец стержня совпадает с точкой а правый – с точкой в системе координат Уравнение распространения тепла в стержне имеет вид

, (1)

, – коэффициент теплопроводности, c – удельная теплоёмкость, – плотность стержня. Потребуем, чтобы решение уравнения (1) удовлетворяло краевым условиям

(2) , (3)

(4)

условие (2) – начальное условие (температура стержня в момент времени

). Условия (3) и (4) – однородные граничные условия (температура на концах стержня). Так же как и уравнение колебаний струны, будем решать эту задачу методом разделения переменных (методом Фурье). Ищем решение задачи (1)-(4) в виде (5)

По аналогии с уравнением колебаний струны после подстановки правой части равенства (5) в уравнение (1), получим

. (6)

соотношения (6) получаем два обыкновенных дифференциальных уравснения

(7)

(8)

из условий (3) и (4) получим - собственные значения, - собственные функции краевой задачи.

в уравнение (8) и решая его, получим , где - некоторые постоянные. Из равенства (5) получаем частные решения уравнения (1)

(9)

как уравнение (1) однородное, то сумма частных решений уравнения тоже решение. Составим формально ряд из функций (9)

. (10)

функция (10) удовлетворяет граничным условиям (3) и (4). Потребуем выполнения начального условия (2)

Отсюда следует, что должны быть коэффициентами Фурье функции при разложении её по синусам в интервале

(11)

доказать, что ряд (10) с коэффициентами (11) а также ряды и , полученные дифференцированием ряда (10), сходятся при определенных требованиях на функцию . Тогда ряд (10) – решение уравнения (1) с краевыми условиями (2)-(4).

II. Элементы теории вероятностей Введение. Комбинаторика.

В1. Размещения.

Всякий упорядоченный набор различных элементов множества , состоящего из элементов, называется размещением из элементов по

Число различных размещений из элементов по

Размещения с повторениями.

Всякий упорядоченный набор элементов множества , состоящего из элементов, называется размещением с повторениями из элементов по

В2. Перестановки..

Перестановкой из различных элементов называется всякий упорядоченный набор из этих элементов.

Число перестановок из элементов

Перестановки с повторениями.

Если в множестве содержатся одинаковые элементы и их число соответственно

то число перестановок из элементов с повторениями равно

.

В3. Сочетания.

Любое подмножество из различных элементов по называется сочетанием из элементов по .

Сочетания с повторениями

.