Лекции по высшей математике
ИДБ-4-й семестр
Уравнения математической физики
1. Уравнение колебаний струны
Пусть гибкая, упругая струна длины
закреплена в точках
и
на плоскости
.
Величина
– отклонение точек струны от положения
покоя, т.е.
зависит от абсциссы
и времени
.
Рассматриваются малые отклонения струны
от положения покоя, причем движение
происходит в плоскости
,
а силы сопротивления среды отсутствуют.
В этом случае уравнение колебаний струны
будет иметь вид
.
(1)
(1) яляется линейным дифференциальным
уравнением в частных производных второго
порядка. Потребуем, чтобы решение
уравнения (1) удовлетворяло начальным
условиям (при
):
(2)
,
(3)
также граничным условиям (при
и
):
(4)
(5)
Совокупность начальных и граничных условий называются краевыми условиями.
Для решения уравнения колебаний струны (1) с краевыми условиями (2)-(5) применим метод разделения переменных (метод Фурье). Будем искать решение в виде
.
(6)
Подставляя (6) в (1), получим
Разделив левую и правую части последнего
равенства на
,
получим
.
(7)
Так как левая часть равенства (7) зависит только от , а правая от x, заключаем, что
Из этих равенств получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
(8)
(9)
- положительное число, то решение
уравнения (8) будет
условий (4) и (5) необходимо, чтобы
и
т.е.
- тривиальное решение принять не можем.
Положим
тогда уравнения (8) и (9) примут вид
(10)
(11)
Из (10) и (11) легко получить их общие решения
(12)
(13)
где
– некоторые постоянные. Из условий (4)
и (5):
следует,
что
и
так как
Из (12) получим
при
при
т.е.
- частные решения уравнения (12). При этом
числа
называются собственными значениями,
а соответствующие им
функции
-
собственными функциями краевой задачи.
Подставляя в равенство (13), получим
– решение уравнения (11).
Очевидно,
- частное решение уравнения (1).
Так как уравнение (1) линейное и однородное, то ряд
(14)
будет решением уравнения (1), если он сходится, а также сходятся ряды,
получающиеся после двукратного почленного дифференцирования его по и по .
Решение (14) должно удовлетворять начальным условиям (2) и (3). При из
(14) и
(2) имеем
Разлагая
на
в ряд Фурье по
синусам, получим
(15)
Далее дифференцируем (14) по и, полагая , имеем из условия (3)
откуда получим
(16)
Таким образом, ряд (14) с коэффициентами (15) и (16) будет решением
уравнения (1), если он сходится, а также если сходятся ряды, получающиеся после
двукратного почленного дифференцирования
ряда (14) по
и по
