18.2.6. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций.
18.2.6.1. Стандартные разложения.
.
Всё начинается с геометрической
прогрессии. На первой лекции по рядам
(см. раздел 18.1. Основные определения)
мы доказали, что эта функция является
суммой ряда
,
и ряд сходится к функции при
.
Итак,
.
Выпишем несколько разновидностей этого ряда. Заменив х на -х, получим
;
при замене х на
получаем
;
;
и т.д.; область сходимости всех этих рядов одна и та же: .
2.
.
Все производные
этой функции в точке х=0 равны
,
поэтому ряд имеет вид
.
Область
сходимости этого ряда - вся числовая
ось (пример 6 раздела 18.2.4.3. Радиус
сходимости, интервал сходимости и
область сходимости степенного ряда),
поэтому
при
.
Как следствие, остаточный член формулы
Тейлора
.
Поэтому ряд сходится к
в любой точке х.
3.
.
Здесь
дальше производные периодически
повторяются. Ряд Маклорена имеет вид
.
Этот ряд
абсолютно сходится при
,
и его сумма действительно равна
.
Остаточный член формулы Тейлора имеет
вид
,
где
или
- ограниченная функция, а
(это общий член предыдущего разложения).
4.
.
Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд:
.
Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.
5.
Самостоятельно доказать, что на всей
числовой оси
,
.
6.
.
Ряд для этой функции называется биномиальным рядом. Здесь мы будем вычислять производные.
… Ряд Маклорена имеет вид
Ищем интервал
сходимости:
, следовательно, интервал сходимости
есть
.
Исследование остаточного члена и
поведение ряда на концах интервала
сходимости проводить не будем; оказывается,
что при
ряд абсолютно сходится в обеих точках
,
при
ряд условно сходится в точке
и расходится в точке
,
при
расходится в обеих точках.
7.
.
Здесь мы воспользуемся тем, что
.
Так как
,
то, после почленного интегрирования,
.
Область сходимости этого ряда -
полуинтервал
,
сходимость к функции во внутренних
точках следует из теоремы о почленном
интегрировании степенного ряда, в точке
х=1 - из непрерывности и функции,
и суммы степенного ряда во всех точках,
сколь угодно близких к х=1 слева.
Отметим, что взяв х=1, мы найдём
сумму ряда
.
8. Почленно интегрируя ряд
,
получим разложение для функции
.
Выполнить все выкладки самостоятельно,
выписать область сходимости.
9. Выпишем разложение функции
по формуле биномиального ряда с
:
.
Знаменатель
представлен как
,
двойной факториал
означает произведение всех натуральных
чисел той же чётности, что и
,
не превосходящих
.
Разложение сходится к функции при
.
Почленно интегрируя его от 0 до х,
получим
.
Оказывается, что этот ряд сходится к
функции на всём отрезке
;
при х=1 получаем ещё одно красивое
представление числа
:
.
18.2.6.2.
Решение задач на разложение функций в
ряд. Большинство задач, в которых
требуется разложить элементарную
функцию в ряд по степеням
,
решается применением стандартных
разложений. К счастью, любая основная
элементарная функция имеет свойство,
которое позволяет это сделать. Рассмотрим
ряд примеров.
1.
Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
.
Ряд сходится при
.
2.
Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
.
Область сходимости:
.
3.
Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
.
Ряд сходится при
.
4.
Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
.
Ряд сходится при
.
5.
Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
.
Область сходимости
.
6.
Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
Разложение в ряд простых рациональных
дробей второго типа получается почленным
дифференцированием соответствующих
разложений дробей первого типа. В этом
примере
.
Дальше почленным дифференцированием
можно получить разложения функций
,
и т.д.
7.
Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
Если рациональная дробь не является
простой, она сначала представляется в
виде суммы простых дробей:
,
а затем действуем, как в примере 5:
,
где
.
Естественно,
такой подход неприменим, например, для
разложения функции
по степеням х. Здесь, если надо
получить несколько первых членов ряда
Тейлора, проще всего найти значения в
точке х=0 требуемого количества
первых производных.