Типовые пф и их характеристики

Производственная функция Кобба-Дугласа

ПФ Кобба-Дугласа относится к классу степенных функций, впервые она была предложена П. Дугласом и Ч.Коббом в 1928 году и получена путем проведения статистического анализа соотношения между динамикой физического объема продукции, размером основного капитала и количества человекочасов, отработанных служащими США за период 1899-1922 гг. Дуглас и Кобб обнаружили, что связь между производительностью труда (Y/L) и фондовооруженностью (Y/K) описывается зависимостью вида:

, из которой следует, что:

, где <1 (4.6)

Иногда функция (4.7) представляется в виде:

При использовании этой классической ПФ предполагались следующие допущения:

1. существование совершенной конкуренции на рынке труда, капитала и продукта;

2. поведение производителя направлено на максимизацию прибыли;

3. неизменность эффективности единиц труда и капитала;

4. неизменность эффективности использования факторов производства (отсутствие НТП);

5. возможность замещения одним фактором производства другого.

Рассмотрим рассмотренные ранее характеристики ПФ для функции Кобба-Дугласа.

1. Средний продукт капитала иди средняя фондоотдача:

2. Средний продукт труда или средняя производительность труда:

3. Предельный продукт капитала:

4. Предельный продукт труда:

5. Коэффициенты эластичности по труду и капиталу:

и

Следовательно, для ПФ Кобба-Дугласа высокая эластичность по труду соответствует низкой эластичности по капиталу.

6. Функция Кобба-Дугласа является однородной функцией со степенью, равной единице:

, значит δ=1.

Напомним также, что из этого свойства следует, что функция Кобба-Дугласа является линейно-однородной: и

Можно дать следующую экономическую интерпретацию этого свойства: пусть Y – национальный доход, тогда линейность будет означать, что весь произведенный национальный продукт распределяется на платежи за использованный капитал (основные производственные фонды) и труд (оплата труда). То есть предельная производительность труда MY_L может рассматриваться как ставка заработной платы, а предельная производительность капитала MY_К - как компенсация издержек, приходящихся на единицу использованного оборудования, а коэффициенты эластичности E_K и E_L могут быть интерпретированы как доля компенсации издержек за использования основный производственных фондов () и доля оплаты труда (1-) в национальном доходе. (То есть в степенной ПФ показатель степени будет являться коэффициентом эластичности по соответствующему фактору).

7. Средний продукт масштаба производства:

8. Предельный продукт масштаба производства:

Соответственно:

Следовательно, предельный и средний продукт масштаба производства равны, значит, эффективность системы, описываемой ПФ Кобба-Дугласа не зависит от изменения масштаба производства.

9. Изокванты ПФ Кобба-Дугласа:

Так как , то

и

Асимптотами изоквант функции Кобба-Дугласа будут являться оси координат, так как:

и

Следовательно, для ПФ Кобба-Дугласа существует возможность полной замены фактора труда фактором капитала.

10. Предельная норма замещения труда капиталом:

11. Изоклины ПФ Кобба-Дугласа:

Рис 4.4

На Рис 4.4 показаны два случая, соответствующие высокой эластичности по труду (слева) и высокой эластичности капиталу, что также можно охарактеризовать как трудоемким и капиталоемким производственным процессом. Соответственно, чем выше значение , тем больше угол наклона изоклины, тем выше эластичность продукта по капиталу.

12. Эластичность замещения труда капиталом для ПФ Кобба-Дугласа всегда равна единице:

Значит, увеличение фондовооруженности труда на 1% приведет к увеличению предельной нормы замещения труда капиталом на 1%. (Единичная эластичность замещения труда капиталом характерна для ПФ, выраженных степенными функциями).

В заключение отметим, что в 1942 году Тинбергеном Я. была получена модифицированная ПФ Кобба-Дугласа, задающая экспоненциальный рост продукта во времени при постоянных затратах труда и капитала с учетом влияния НТП:

,

где k – параметр, определяющий влияние НТП на эффективность преобразования факторов в продукт.

В практическом применении ПФ Кобба-Дугласа используется для моделирования среднемасштабных производственных систем с устойчивым и стабильным функционированием.

Производственная функция Леонтьева

Данный вид ПФ описывает жесткий производственный процесс с постоянными пропорциями факторов, когда потребляемые факторы производства являются идеальными комплементами, то есть замена таких факторов друг другом невозможна.

ПФ Леонтьева жесткость производственного процесса задается следующим функциональным соотношением:

, где a и b – положительные константы, которые определяют количество единиц капитала и труда, необходимое для производства единицы продукта. Величина продукта согласно этой функциональной зависимости определяется лимитирующим фактором из-за жесткости технологического процесса, который и задается минимальным количеством продукта, который может быть произведении из используемого количества труда и капитала.

Например, известно, что для производства единицы продукта требуется затратить 3 единицы труда и 5 единиц капитала. Тогда, чтобы произвести шесть единиц продукта, потребуется затратить 18 единиц труда и 30 единиц капитала. А сколько продукта может произвести система при затратах 18 единиц труда и 33 единиц капитала? Ответ дает функциональная зависимость:

Так как факторы являются абсолютными комплементами, то нельзя использовать избыток капитала (3 единицы) для производства продукта, так как существует дефицит труда, то есть труд является лимитирующим фактором. Графическая интерпретация представлена на Рис. 4.5, где показано изменение выпуска продукта при изменении затрат труда при фиксированном значении затрат капитала (K=33). Показано, что до точки L^* лимитирующим фактором являются затраты труда, в точке L^*=20 вклад труда и капитала становится равным , в дальнейшем увеличение выпуска продукции не происходит, так как лимитирующим фактором становятся затраты капитала.

Рис 4.5

Основными свойствами функции Леонтьева является: принадлежность к классу неоклассических ПФ, линейность и однородность ПФ, а также нулевая эластичность замещения труда капиталом.

Получим основные характеристики ПФ Леонтьева.

1. Средний продукт труда или средняя производительность труда (в области лимитирования производства продукта затратами труда):

Средний продукт труда или средняя производительность труда (в области лимитирования производства продукта затратами капитала):

2. Предельный продукт труда (в области лимитирования производства продукта затратами труда):

Предельный продукт труда (в области лимитирования производства продукта затратами капитала):

3. Коэффициенты эластичности по труду (в области лимитирования производства продукта затратами труда и капитала):

и

Таким образом, увеличение затрат труда на один процент приводит к увеличению производства продукта на один процент в области лимитирования производства затратами труда и не приводит к изменению выпуска в области лимитирования производства затратами капитала.

Полученные выше характеристики можно получить и для второго фактора – затрат капитала. В итоге эластичность продукта по капиталу и труду для ПФ Леонтьева всегда будет равна единице в области, лимитируемой рассматриваемым фактором, и равна нулю в области, лимитируемой дополнительным фактором.

4. Изокванта ПФ Леонтьева (см. Рис 4.6) образуется двумя лучами, выходящими из точки (K=Ya, L=Yb). При этом угловые точки соответствуют условию Ka=Lb и лежат на луче, выходящем из начала координат: . Фактически угловые точки образуют множество наиболее рационального использования факторов, когда труд и капитал используются в оптимальном соотношении.

Рис 4.6

ПФ Леонтьева используется в основном для моделирования мелкомасштабных производственных систем и для описания полностью автоматизированных производственных систем.

Линейная производственная функция

Линейная ПФ применяется для описания гибких производственных процессов, в котором производственные факторы являются совершенными субститутами, то есть возможно полное замещение одного фактора другим. В этом случае ПФ выражается следующей зависимостью:

, где a>0, b>0.

Для линейной ПФ не выполняется первый критерий неоклассической функции, то есть в отсутствии одного из факторов выпуск продукта не равен нулю:

,

Следовательно, изокванты линеной ПФ могут пересекать оси координат.

Соответственно линейной зависимости не будет выполняться и свойство вогнутости ПФ, так как вторая частная производная линейной ПФ по любому фактору будет равна нулю. Значит, линейная ПФ обладает свойством постоянства предельного продукта, так как увеличение одного фактора при фиксации затрат другого фактора не уменьшает величину предельного продукта.

Получим основные характеристики линейной ПФ:

1. Средний продукт труда и капитала:

С ростом фондовооруженности средний продукт труда увеличивается, а средний продукт капитала уменьшается.

2. Предельные продукты труда и капитала:

и

3. Изокванты линейной ПФ задаются уравнением и представляют семейство прямых с угловым коэффициентом .

4. Предельная норма замещения труда капиталом:

5. Коэффициент эластичности замещения труда капиталом линейной ПФ всегда равен бесконечности, так как MRS = const.

Линейные ПФ используются при моделировании крупномасштабных производственных систем, таких как отрасли промышленности или национальные экономики (выпуск агрегированного продукта).