1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем.
2. Теорема Вейерштрасса:
Пусть f(x)
непрерывна на отрезке [a;b].
Тогда
Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она достигает наибольшего и наименьшего значения на нем.
3. Теорема Больцано-Коши:
Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a;b], f(a) = A, f(b) = B, A B.
Тогда
,
A<
<B
[a; b] :
.
Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она принимает все значения на нем.
Прим.: теорема не утверждает, что точка
- единственная.
Непрерывность многочленной и рациональной функции:
Т.к. произведение непрерывных функций
есть функция непрерывная, отсюда следует
непрерывность любого одночленного
выражения ax
= a*
(if F(x)=x
непрерывная функция).
Непрерывность многочлена (целой
рациональной функции) a
x
+ a
x
+ … + a
x
+ a
следует из непрерывности суммы непрерывных
функций. В этих случаях непрерывность
имеет место во всем промежутке (-
;
+
).(Сумма
непрерывных функций есть непрерывная
функция)
Частное двух многочленов (дробная
рациональная функция)
также будет непрерывно при каждом значении x, кроме тех, которые обращают знаменатель в 0.
2. Терема о среднем для действительных функций одного действительного переменного. Теорема Ферма; теорема Ролля; теорема Лагранжа. Примеры показывающие существенность каждого условия в теореме Роля; геометрическая интерпретация.
Теорема о среднем – совокупность: Т. Ферма, Т. Роля, Т. Коши, Т. Лагранжа.
Теорема Ферма:
Пусть функция
определена и непрерывна на промежутке
[a;b]
и в некоторой точке
этого промежутка достигает своего
наибольшего и наименьшего значения,
если в этой точке
,
то
Доказательство:
Пусть, для определенности, в точке
функция
достигает
своего наибольшего. По условию теоремы
эта точка внутренняя, т.е. a<x<b,
и поэтому к этой точке можно подойти и
справа и слева.
Пусть мы подходим к точке
слева. Тогда
,т.к.
-наибольшее
значение.
,
(т.к.
подходим слева) =>
Делая предельный переход
получим
(1)
Пусть мы подходим к точке справа. Тогда ,т.к. -наибольшее значение.
,
(т.к.
подходим справа) =>
Делая предельный переход
получим
(2)
Сопоставляя соотношения (1) и (2), приходим к заключению, что
Аналогично для наименьшего значения.
Теорема Ролля:
Пусть:
1) функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b];
2)
;
3) на концах промежутка функция принимает
равные значения
Тогда
:
Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a; b], поэтому
–
по т.Вейрштрасса
x
[a;
b] m <= f(x)
<= M.
Рассмотрим 2 случая:
M=m. Тогда f(x) в промежутке [a; b] сохраняет постоянное значение. Производная const равна 0.
(M>m).
Оба эти значения функцией достигаются,
но, т.к. f(a)
= f(b), то они
не могут оба достигаться на концах
промежутка и хоть одно из них достигается
в некоторой точке между a
и b (Если, к примеру,
,
тогда
,
т.е. не может быть равно а). Производная
в этой точке обращается в 0 ( либо
,
либо
- из т.Ферма). Теорема доказана.
Замечание: теорема Ролля не утверждает, что такая точка одна.
На геометрическом языке теорема Роля означает следующее: если крайние кординаты кривой y=f(x) равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси x.
Примеры показывающие существенность условий - в доказательстве (без всех условий теорема не доказуема).
Теорема Лагранжа. Пусть:
1) f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b],
2) f(x) дифференцируема на (a; b).
Тогда
Доказательство: Введем вспомогательную
функцию F(x),
определив ее в промежутке [a;
b] равенством:
Эта функция непрерывна на [a; b], т.к. представляет собой разность между непрерывной функцией f(x) и линейной функцией. В промежутке (a; b) она имеет определенную конечную производную, равную
.
Подстановкой можно убедиться, что
F(a)=F(b)=0,
т. е. F(x)
принимает равные значения на концах
промежутка. Следовательно, по теореме
Ролля, на интервале (a; b)
существует
,
т. е
Теорема
доказана.