Эквивалентность булевых формул.
Булевы функции могут быть заданы либо с помощью таблиц истинности (единственным образом), либо с помощью логических формул (неединственным образом).
Если таблицы истинности двух булевых формул совпадают, то эти формулы эквивалентны и определяют одну и ту же булеву функцию.
Пример.
Проверить эквивалентность булевых формул:
x →( y →z) = (x →y)→(x →z).
Решение: Построим таблицу истинности для функции
f (x, y) = x →( y →z).
x |
y |
z |
( y →z) |
x →( y →z) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Построим таблицу истинности для функции g(x, y) = (x →y)→(x →z).
x |
y |
z |
x →y |
x →z |
(x →y)→(x→z) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Результирующие столбцы в таблицах истинности совпадают, следовательно, формулы эквивалентны.
Основные эквивалентности.
Коммутативность:
;
;
;
Ассоциативность:
;
;
Дистрибутивность:
;
;
Правила де Моргана:
,
.
Законы поглощения:
;
;
;
;
;
;
;
Приоритет конъюнкции выше, чем приоритеты дизъюнкции и суммы по модулю 2. Благодаря этому, часто удаётся опустить ряд ненужных скобок.
Переменная
называется
существенной
переменной функции
,
если существуют такой набор
переменных, что значение функции
.
Такие наборы,
отличающиеся лишь одной переменной
,
называются соседними
по
.
В противном случае переменная
называется
фиктивной
или несущественной.
Пример.
Определить существенные и фиктивные переменные функции (11110011).
Решение: Для удобства приведем таблицу истинности.
x |
y |
z |
f (x,y,z) |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Проверим, является ли переменная x существенной или фиктивной. Рассмотрим значения функции на наборах, соседних по переменной x:
f (0,0,0) = 1,
f (1,0,0) = 0 .
f (0,0,0) ≠ f (1,0,0) . Значит, переменная x – существенная.
Рассмотрим теперь значения функции на наборах, соседних по переменной y:
f (0,0,0) = 1,
f (0,1,0) = 1.
f (0,0,1) = 1,
f (0,1,1) = 1.
f (1,0,0) = 0 ,
f (1,1,0) = 1.
f (1,0,0) ≠ f (1,1,0) . Следовательно, переменная y – существенная.
Рассмотрим значения функции на наборах, соседних по переменной z:
f (0,0,0) = 1,
f (0,0,1) = 1.
f (0,1,0) = 1,
f (0,1,1) = 1.
f (1,0,0) = 0 ,
f (1,0,1) = 0.
f (1,1,0) = 1,
f (1,1,1) = 1.
На всех парах соседних по переменной z наборов значений переменных функция принимает равные значения, следовательно, переменная z – фиктивная.
Две функции алгебры логики называются равными, если одну из них можно получить из другой путём добавления и изъятия любого числа фиктивных переменных.
Пусть имеется некоторое множество булевых функций
F = {f1 (…), f2 (…), …, fn (…), …}. Введем понятие формулы над F:
1) Любая функция из F называется формулой над F.
2) Если
F
и
— либо
переменная, либо формула над F,
то выражение вида
является также формулой над F.
3) Только те объекты называются формулами над F, которые можно построить с помощью пунктов 1 и 2 данного определения.
Замечание.
Среди
вполне могут
быть одинаковые.
Пример.
Множество
.
Тогда
,
,
- формулы над F.
Иногда внешние скобки у формул опускают.
Каждая формула над F реализует некоторую булеву функцию. Поэтому будем отождествлять формулу с реализуемой функцией.