Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
6634_УМК_Генералова_11-12_ЕНД_3,5.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.16 Mб
Скачать

Эквивалентность булевых формул.

Булевы функции могут быть заданы либо с помощью таблиц истинности (единственным образом), либо с помощью логических формул (неединственным образом).

Если таблицы истинности двух булевых формул совпадают, то эти формулы эквивалентны и определяют одну и ту же булеву функцию.

Пример.

Проверить эквивалентность булевых формул:

x →( y z) = (x y)→(x z).

Решение: Построим таблицу истинности для функции

f (x, y) = x →( y z).

x

y

z

( y z)

x →( y z)

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

Построим таблицу истинности для функции g(x, y) = (x y)→(x z).

x

y

z

x y

x z

(x y)→(xz)

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

Результирующие столбцы в таблицах истинности совпадают, следовательно, формулы эквивалентны.

Основные эквивалентности.

  1. Коммутативность:

;

;

;

  1. Ассоциативность:

;

;

  1. Дистрибутивность:

;

;

Правила де Моргана:

,

.

  1. Законы поглощения:

;

;

;

;

;

;

;

Приоритет конъюнкции выше, чем приоритеты дизъюнкции и суммы по модулю 2. Благодаря этому, часто удаётся опустить ряд ненужных скобок.

Переменная называется существенной переменной функции , если существуют такой набор переменных, что значение функции . Такие наборы, отличающиеся лишь одной переменной , называются соседними по . В противном случае переменная называется фиктивной или несущественной.

Пример.

Определить существенные и фиктивные переменные функции (11110011).

Решение: Для удобства приведем таблицу истинности.

x

y

z

f (x,y,z)

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

Проверим, является ли переменная x существенной или фиктивной. Рассмотрим значения функции на наборах, соседних по переменной x:

f (0,0,0) = 1,

f (1,0,0) = 0 .

f (0,0,0) ≠ f (1,0,0) . Значит, переменная x – существенная.

Рассмотрим теперь значения функции на наборах, соседних по переменной y:

f (0,0,0) = 1,

f (0,1,0) = 1.

f (0,0,1) = 1,

f (0,1,1) = 1.

f (1,0,0) = 0 ,

f (1,1,0) = 1.

f (1,0,0) ≠ f (1,1,0) . Следовательно, переменная y – существенная.

Рассмотрим значения функции на наборах, соседних по переменной z:

f (0,0,0) = 1,

f (0,0,1) = 1.

f (0,1,0) = 1,

f (0,1,1) = 1.

f (1,0,0) = 0 ,

f (1,0,1) = 0.

f (1,1,0) = 1,

f (1,1,1) = 1.

На всех парах соседних по переменной z наборов значений переменных функция принимает равные значения, следовательно, переменная z – фиктивная.

Две функции алгебры логики называются равными, если одну из них можно получить из другой путём добавления и изъятия любого числа фиктивных переменных.

Пусть имеется некоторое множество булевых функций

F = {f1 (…), f2 (…), …, fn (…), …}. Введем понятие формулы над F:

1) Любая функция из F называется формулой над F.

2) Если F и — либо переменная, либо формула над F, то выражение вида является также формулой над F.

3) Только те объекты называются формулами над F, которые можно построить с помощью пунктов 1 и 2 данного определения.

Замечание. Среди вполне могут быть одинаковые.

Пример.

Множество . Тогда , , - формулы над F. Иногда внешние скобки у формул опускают.

Каждая формула над F реализует некоторую булеву функцию. Поэтому будем отождествлять формулу с реализуемой функцией.