Эйлеров цикл
Теория графов берёт своё начало с решения в 1736 году знаменитым математиком Эйлером задачи о кенигсберских мостах. Жителей Кенигсберга заинтересовал вопрос, могут ли они, начав путь с одного участка суши, обойти все семь мостов, посетив каждый из мостов однажды, и вернуться в пункт старта, не переплывая реки. Эйлер переформулировал задачу, изобразив участки суши в виде вершин, а мосты – в виде рёбер графа. Тогда задача сводится к задаче о существовании в графе цикла, включающего все вершины графа. Такой цикл называется эйлеровым.
Связный граф называется эйлеровым, если он содержит эйлеров цикл.
Теорема. В графе с более чем одной вершиной есть эйлеров цикл тогда и только тогда, когда граф является связным и каждая его вершина имеет чётную степень.
Граф, в котором существует эйлеров цикл, можно нарисовать, не отрывая карандаш от листа бумаги и не проводя дважды по какому-либо ребру графа.
Пример.
Определить наличие эйлерова цикла в следующем графе:
Решение: Так как в данном графе есть вершины нечётной степени, то в этом графе эйлерова цикла не существует.
С помощью графов можно производить расчёт различных структур. Если структура достаточно сложная, то для решения задачи необходимо использовать компьютер. При автоматизированных работах граф неудобно задавать графически. Проще представлять его в виде двумерного массива или матрицы.
Матрицей смежности
графа, содержащего n
вершин, называется матрица
с n
строками и n
столбцами, каждый элемент которой
определяется
по следующей формуле:
Для орграфа:
Пример.
Для графа G построить матрицу смежности A(G)
G
Решение:
Так как у графа G
6 вершин, то размер матрицы смежности
A(G)
будет
.
Используя
определение для матрицы смежности,
получим:
A(G)
=
,
так как в графе
существует
ребро, соединяющее вершины
и
.
,
так как в графе
существует
ребро, соединяющее вершины
и
.
,
так как в графе
нет ребра,
соединяющего вершины
и
.
И т. д.
Можно заметить, что матрица смежности является симметричной, и количество единиц в каждой строке равно степени вершины, которой соответствует эта строка. По матрице смежности легко построить графическое представление графа.
Пример. Для орграфа G построить матрицу смежности A(G)
G
Решение: Так как у орграфа G 6 вершин, то размер матрицы смежности A(G) будет . Используя определение для матрицы смежности, получим:
A(G)
=
Матрицу смежности чаще применяют для задания неориентированного графа. Для задания ориентированного графа лучше использовать матрицу инцидентности.
Матрицей
инцидентности
графа, содержащего n
вершин и m
рёбер, называется матрица
с n
строками и m
столбцами, каждый элемент которой
определяется
по следующей формуле:
Для орграфа:
Пример.
Для графа G построить матрицу инцидентности B(G).
G
Решение:
Так как у
графа G
5 вершин и 6 рёбер, то размер матрицы
инцидентности B(G)
будет
.
Используя
определение для матрицы инцидентности,
получим:
B(G)
=
,
так как вершина
является концом ребра
.
,
так как вершина
является концом ребра
.
,
так как вершина
не является концом ребра
.
И т. д.
Пример.
Для графа G построить матрицу инцидентности B(G).
G
Решение: Так как у орграфа G 5 вершин и 6 дуг, то размер матрицы инцидентности B(G) будет . Используя определение для матрицы инцидентности, получим:
B(G)
=
, так как в вершине заканчивается дуга .
,
так как в
вершине
начинается дуга
.
, так как вершина и дуга не инцидентны. И т.д.
Граф может быть представлен различными способами. Он может быть изображен на чертеже, задан матрицей инцидентности, списком ребер или матрицей смежности. Вид чертежа зависит от формы линий и взаимного расположения вершин. Вид матриц и списка ребер зависит от нумерации вершин и ребер графа. Строго говоря, граф считается полностью заданным, если нумерация его вершин зафиксирована. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин, называются изоморфными.
Если задано два
графа
и отображение
,
то для любых вершин
графа
их образы
смежны в графе
тогда и только тогда, когда вершины
и
смежны в графе
.
Если такой изоморфизм существует, то
пишется
и говорим,что графы
изоморфны.
G H
Графы G и H изоморфны.