6. Открытые множества.
Назовем
открытым
( замкнутым
) шаром с центром в точке
а и радиусом r
множество элементов
х метрического пространства
Х, удовлетворяющих, соответственно,
условиям:
Примеры:
1. В
( на числовой оси ) :
2.
В С(a,b):
составляют
множество непрерывных функций,
графики которых не выходят из полосы
шириной
:
Окрестностью точки х называют любой открытый
шар с центром в этой точке.
Точка
называется
внутренней,
если она входит во множество вместе
со своей
окрестностью.
Множество
- открытое,
если все его точки внутренние.
Пример: (a,b) - открытое множество.
ТЕОРЕМА: Объединение открытых множеств в любой совокупности и пересечение открытых множеств в конечном числе есть открытое множество, т.е.:
- открытые
множества.
-14-
7. Замкнутые множества. Замыкание.
Множество
называется замкнутым,
если оно содержит в себе все
свои предельные точки.
Примеры: 1. Множество точек отрезка образуют замкнутое множество. Из математического анализа известно, что все точки
отрезка являются предельными, вне отрезка нет точек предельных для
точек множества.
2. Множество точек интервала образуют незамкнутое множество.
Действительно, точки a и b предельные для точек данного множества, но множеству не принадлежат.
(Напоминание: Точка множества называется предельной, если в любой ее окрестности найдутся точки данного множества)
3. Множество всех
действительных чисел
( точек числовой оси ) - замкнутое
множество.
Замыканием
множества М называется множество
,
где
-
производное
множество ( множество предельных
точек М ).
Очевидно,
М -
замкнутое
множество, если
.
Напротив, если М - замкнутое множество,
то
и, следовательно,
(Это утверждение
можно считать вторым определением
замкнутого множества: множество
замкнуто, если оно совпадает со своим
замыканием).
Примеры:
1. Для мн-ва
.
Тогда
Для
-
пустого множества имеем:
.
Следовательно, - замкнутое множество.
-15-
ТЕОРЕМА 1: Дополнение открытого множества до всего пространства всегда замкнутое. Дополнение замкнутого множества до всего пространства всегда открытое.
Пример: Так как множество всех действительных чисел ( точек числовой оси ) - замкнутое множество, то его дополнение С = - открытое множество. Таким образом, из этого примера и примера 2 мы убедились, что является примером одновременно замкнутого множества и открытого.
ТЕОРЕМА: Объединение замкнутых множеств в конечном числе и пересечение замкнутых множеств в любой совокупности есть замкнутое множество.
Упражнения 6:
1. Открыто или нет множество всех действительных чисел ?
Пусть
.
Показать, что множество М
непрерывных функций таких, что
,
открыто.
Пусть
-
функция определенная и непрерывная
на всей числовой оси. Доказать, что
множество М
тех точек
х ,где
,
открыто.Доказать, что множество
всех внутренних точек множества М
открыто.
Что можно сказать о множестве рациональных чисел ?
Является ли оно открытым ? Является ли оно замкнутым ?
Что можно сказать о множестве точек
?
Замкнуто ли оно ?
Открыто ли ?
Доказать, что если
-
замкнутое, а
-
открытое множество, то
-
открытое
множество, а
- замкнутое множество.
Замкнуто или нет множество точек
?
-16-
9.Непосредственно из определения замкнутого множества вывести, что любое конечное множество точек метрического пространства замкнуто.
10.Показать, что
множество
,
состоящее из непрерывных функций
таких, что
,
замкнуто.
11.Доказать, что для любого множества М метрического пространства Х множество его предельных мочек - замкнуто.
12.Доказать, что
.
13.Доказать, что
замыкание
произвольного множества
замкнутое множество.
14.Доказать, что замыкание есть наименьшее замкнутое множество, содержащее М.
15.М
-множество точек вида
.
Чему равно
?
16*.Построить счетное множество М, обладающее следующими свойствами:
а) имеет мощность континуума;
б)
.
17*.Может ли множество, состоящее только из изолированных точек,
иметь предельные точки ? Может ли его производное
множество быть бесконечным ? Может ли оно быть несчетным ?
18*.Показать, что всякое замкнутое множество на числовой прямой может быть получено выкидыванием из прямой счетного или конечного множества попарно не пересекающихся интервалов.
Что можно сказать о пустом множестве ?
Является ли оно открытым ? Является ли оно замкнутым ?
Приведите примеры:
замкнутого, но не открытого множества;
открытого, но не замкнутого множества;
открытого и замкнутого одновременно;
не открытого и не замкнутого одновременно.
-17-