3.3.1. Нелинейные элементы

Свойства модели. Рассматриваются безынерционные нелинейные элементы (без динамики). Источник погрешностей на входе элемента описывается распределением вероятностей р(х) и спектральной плотностью S_x(ω). Это означает, что случайная величина X стационарна. На выходе элемента с характеристикой y=f(x) получается стационарная случайная переменная Y.

1-й этап. Определение вероятностного распределения. Исходными данными для расчета являются конструктивные параметры a₁, …, a_k, а также многомерное распределение вероятностей p(a₁, …, a_k) и граничные распределения p₁(a₁, …, a_k). Коэффициентами модели служат величины b₁, …, b_i, определяемые выражением (3.57) при i=1, 2, ..., l, а именно:

Функцию ψ_i можно посредством последовательных подстановок представить в виде элементарных функций: суммы, разности частного и произведения двух первичных переменных a_j или функции одной переменной. Расчетные формулы для элементарных функций приведены в табл. 3.1.

2-й этап. Определение спектральной плотности. Исходные данные: спектральная плотность S_x(ω) либо функция корреляции Κ_x(τ) стационарного источника погрешностей, а также характеристика элемента¹. Для линейного элемента существует связь

(3.59)

(3.60)

Относительно просто можно рассчитать (по определению) функцию корреляции на выходе элементов с квадратичной или многомерной характеристикой. Поэтому прочие характеристики следует аппроксимировать многомерной характеристикой.

Таблица 3.1.

Формулы для расчета распределения вероятности функции непрерывных случайных переменных

Функции	Зависимые переменные	Независимые переменные
Одномерная Z=f(X), если существуют X=(X) и
Z=X+Y
Z=X-Y
Z=XY
Z=X/Y

Нижеприведенные формулы относятся к случайной переменной X со средним значением, равным нулю (E[X] = 0), а также с нормальным распределением вероятностей. Если

Y=X², (3.61)

то, обозначив

X₁=X(t), X₂=X(t+), (3.62)

можно рассчитать функцию корреляции по определению

K_y()=E{[X₁²-E(X₁²)][X₂²-E(X₂²)]}. (3.63)

После выполнения преобразований и расчетов получаем

K_y()=2[K_x()]² . (3.64)

Спектральная плотность вычисляется по формуле Винера — Хинчина

. (3.65)

Свешников предлагает рассчитывать интеграл (3.65) по формуле

, (3.66)

что значительно упрощает расчеты.

Если характеристика элемента имеет вид:

Y=b₀+b₁X+b₂X ², (3.67)

где X – случайная переменная с нормальным распределением и средним значением, равным нулю, то

, (3.68)

. (3.69)

Для нелинейного элемента с характеристикой

Y=XU, (3.70)

если E(X)=E(U)=0, обе переменные X, U имеют нормальные распределения, а характеристики их известны, то

, (3.71)

. (3.72)

Примеры (3.67), (3.70) позволяют шаг за шагом рассчитать очень сложные характеристики элементов. Однако расчеты усложняются, так как по достижении нелинейности распределение выходной величины перестает быть нормальным.