1.2.8. Интервальные меры

Первое условие. Вторую группу мер неоднозначности отображения аВ образуют интервальные меры, близкие к мере Лебега, после выделения определенного подмножества из множества В_а посредством дополнительного условия. Можно поставить условие, чтобы вероятность реализации элемента b_i была соответственно велика, например:

p_а(b_i)>p_min>0. (1.51)

Рис. 1.7. Мера неоднозначности образа при р_а(b)>р_min :

а - графическая интерпретация меры;

б - случай, когда мера не вполне характеризует неоднозначность образа

Условие (1.51) выполняется для множества

В_р=bВ_а:р(b) p_min }, (1.52)

как это иллюстрирует рис. 1.7,а. Множество В_р можно охарактеризовать мерой Лебега (1.46), и тогда

(В_р) = _н+_в = 2 , (1.53)

где  = (_в+_н)/2.

Достоинством условия (1.51) (p>p_min) является ограничение множества образов тогда, когда множество В_а теоретически бесконечно (например, множество с нормальным распределением). Для нормального распределения выбор p_min из условия

p_min/p_max= 0.1 приводит к (В_р) = 22,15 = 4,30 , (1.54)

а из условия

p_min/p_max = 0.01 – к (В_р) = 23,04 = 6,08 . (1.55)

Мера Лебега множества В_р кратна стандартному отклонению . Как показывает рис. 1.7,б, такая мера неудобна для некоторых распределений, например для бимодальных и несвязанных, поскольку приводит к разрыву функции p(b) – второе условие.

Второе условие. Множество В_а можно также ограничить условием, чтобы окрестность точки b^* содержала некоторую  - часть элементов всего множества В_а. Путем подбора значений _н, _в>0, соответствующих условию

<1 (1.56)

или двум условиям

, (1.57)

получается множество В_ В_а. Мера Лебега множества B_ составляет

(В_) = _н+_в=2>0, (1.58)

где  = (_н+_в)/2.

В этом случае интервал 2 называется доверительным интервалом, а  - доверительным уровнем. Графическая интерпретация доверительных интервалов показана на рис. 1.8.

Для нормального распределения интервал 2·2 содержит 95% элементов множества В_а, а интервал 2·З - соответственно 99,7%.

Рис. 1.8. Способы выделения множества В_

а - из условия (1.56); б - из условия (1.57)

Встречается еще одна интервальная мера, а именно ширина распределения. Если нижний и верхний пределы множества В_а равны соответственно b_н и b_в, то ширина (разброс)

W = b_в - b_н > 0. (1.59)

Ширина распределения в этом случае равна значению меры Лебега для множества В_а (1.45,в).

1.2.9. Энтропия

Третьим видом меры неоднозначности отображения аВ_а является энтропия (или негэнтропия), выражаемая формулой

(1.60а)

либо

Н = . (1.60б)

Интересно, что возможно НВ, хотя энтропия выражается действительными числами. Это логарифмическая мера определенного интервала, длина которого зависит от распределения вероятности р_а(b), а также от характеристик дисперсии распределения. Для множества с равномерным распределением (1.40) энтропия описывается выражением

H= ln (b_в – b_н) , (1.61)

а энтропия множества с нормальным распределением составляет

. (1.62)

Энтропия является мерой упорядочения или неопределенности, используемой в термодинамике. Наибольшую неопределенность имеет множество с равномерным распределением.

Энтропию следует рассматривать как меру, позволяющую сравнивать два множества с различными распределениями вероятностей. Если два сравниваемых множества имеют распределения одного вида (например, нормальное или равномерное), то их можно сравнить через отношение параметров их функции вероятности.

Два множества с распределениями разного вида с точки зрения энтропии эквивалентны, если их энтропии равны. Эквивалентность либо упорядоченность множества с позиций энтропии не имеет иного значения.

Итог

До сих пор говорилось об одноразовом акте познания состояния а данной характеристики. Образом состояния а является множество значений В_а=b, а также множество вероятностей р_а(b), соответствующих условию (1.25) реализации значения b; при этом в качестве наилучшего образа выбирается, по одному из возможных решающих правил (1.27), значение b^*. Неоднозначность отображения состояния а в значение b^* характеризует множество значений

b b^* , (1.63)

находящихся в окрестности точки b^* , либо, в соответствии с (1.36), множество состояний

А^*а. (1.64)

Исследование состояний материи и энергии ведется путем многократного осуществления познавательных актов. Отыскивается либо множество образов (в предположении, что данная характеристика сохраняет свое состояние а), либо множество прообразов состояний а, интерпретированных как различные множества {А^*}. Следовательно, существует возможность сравнения образов между собой в предположении, что состояние данной характеристики не меняется. Сравнить требуется значения b^* , а также распределения вероятности р_а(b) либо иные меры неоднозначности образов. Сложность таких сравнений, пожалуй, не вызывает сомнений. Этой задачей занимается математическая статистика.