Біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеу.

Мына түрдегі

(9.43)

теңдеу, мұндағы - тұрақты нақты сандар, коэффициенттері тұрақты біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеу деп аталады. Бұл теңдеудің шешімін екі шешімнің қосындысы түрінде іздейміз:

, (9.44)

мұндағы - берілген (9.43) біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеудің кез келген бір дербес шешімі, - (9.43) теңдеуге сәйкес келетін біртекті сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі (жоғарыда келтірілген).

(9.43) біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеудің кез келген бір дербес шешімін табу, оның оң жағындағы функциясының түріне негізделіп алынады. Демек, дербес шешім табу жәй амалдар қолдану арқылы сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін дифференциалдау мен шешуге келіп тіреледі. Бұл тәсіл дербес шешімді сұрыптау немесе анықталмаған коэффициенттер тәсілі деп аталады.

(9.43) біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеудің оң жағындағы функциясы жалпы мына түрде алынады:

, (9.45)

мұндағы - коэффициентері тұрақты және нақты, сәйкес n - ші және m - ші дәрежелі көпмүшеліктер. Жеке жағдайларды қарастырайық.

1) , яғни (9.46)

түрінде берілсін, мұнда .

Бұл жағдайда -дербес шешімді мына түрде іздейміз:

, (9.47)

мұндағы k – сипаттаушы теңдеудің - ға тең түбірлерінің еселігі, - анықталмаған коэффициенттер.

а) - сипаттаушы теңдеудің түбірі емес, яғни , онда . Ендеше біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі мына түрде ізделінеді:

. (9.48)

Анықталмаған коэффициенттерді табу үшін функциясын n рет дифференциалдап, (9.46) теңдеуге қоямыз. Алынған теңдіктің екі жағын да шамасына қысқартып, теңдіктің сол және оң жағындағы х - тің бірдей дәрежелерінің коэффициенттерін теңестіріп, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз. Жүйені шешіп, анықталмаған коэффициенттерді табамыз және олардың мәндерін (9.48) дербес шешім формуласына қоямыз.

б) - сипаттаушы теңдеудің k еселі түбірі болса, яғни , онда біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі мына түрде ізделінеді:

, (9.49)

мұндағы - анықталмаған коэффициенттер.

Анықталмаған коэффициенттер а) жағдайындағы тәсілмен табылады.

2) (9.45)

түрінде берілсін, мұнда - нақты сандар.

Бұл жағдайда -дербес шешімді мына түрде іздейміз:

, (9.50)

мұндағы k – сипаттаушы теңдеудің - ға тең түбірлерінің еселігі, - анықталмаған коэффициенттері бар l - ретті көпмүшеліктер, l - - көпмүшеліктерінің ең үлкен дәрежесі, яғни .

көпмүшеліктерінің коэффициенттерін табу үшін (9.50) функцияны (9.45) - ке қойғаннан кейін, теңдеудің екі жағындағы аттас тригонометриялық функциялардың алдындағы көпмүшеліктерді теңестіреді.

Ескерту: (9.50) түр болған жағдайларда да сақталады.

а) - сипаттаушы теңдеудің түбірлері болмаса, онда біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі мына түрде ізделінеді:

. (9.51)

б) - сипаттаушы теңдеудің k еселі түбірлері болса, онда біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі мына түрде ізделінеді:

. (9.52)

Мысалдар. 1. теңдеуінің жалпы шешімін табыңыз.

Шешуі. Алдымен - берілген теңдеуге сәйкес келетін біртекті сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табамыз. Оның сипаттаушы теңдеуі: . Бұдан . Оның түбірлері: . Ендеше - біртекті сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Енді берілген теңдеудің дербес шешімін табамыз. Онда теңдеудің оң жағы , бұл (9.46) түрде берілген, сипаттаушы теңдеудің түбірі емес: . Сондықтан, - дербес шешімді (9.48) формула бойынша мына түрде іздейміз: , мұндағы А және В – анықталмаған коэффициенттер. Бұдан . мәндерін берілген теңдеуге қоямыз, сонда немесе . Анықталмаған коэффициенттер тәсілі бойынша х - тің бірдей дәрежелеріндегі коэффициенттерді теңестіріп, теңдеулер жүйесін аламыз:

Сондықтан, берілген теңдеудің дербес шешімі: .

Ендеше, - берілген теңдеудің жалпы шешімі.