Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді шешу.
а)
Айнымалылары ажыратылған дифференциалдық
теңдеулер.
дифференциалдық теңдеудің оң жағындағы
функциясы біреуі у
– тен тәуелсіз, екіншісі х
–тен тәуелсіз екі функцияның
көбейтіндісінен, яғни
тұрса,
онда
(9.5)
теңдеу айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеу деп аталады. Айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеу мына түрде жазылады:
.
Бір
жағында х,
екіншісінде у
болатындай теңдеуді екі бөлікке бөлеміз:
.
Сонда теңдеудің екі бөлігі екі функцияның
дифференциалын береді, ендеше екі жағын
жеке интегралдаймыз:
.
Бұл бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі (интегралы).
б) Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер.
.
(9.6)
теңдеу
айнымалылары
ажыратылатын дифференциалдық теңдеу
деп аталады. Онда
деп болжап, осы теңдеуді
- ке бөліп, айнымалылары ажыратылған
дифференциалдық теңдеу аламыз:
.
Теңдеудің екі жағын да интегралдасақ,
берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін аламыз.
в) Біртекті дифференциалдық теңдеулер.
функциясы
берілсін. Егер кез келген
нақты саны үшін
теңдігі
орындалатын болса, онда
функциясы
- шы ретті біртекті функция
деп аталады.
Егер
және
функциялары
бірдей ретті біртекті функциялар болса,
онда
(9.7)
біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Анықтама. түріндегі теңдеудің оң жағындағы функциясы нөлдік ретті біртекті функция болса, онда теңдеу бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Біртекті дифференциалдық теңдеуді шешу әдісі.
және
функциялары
-
шы ретті біртекті функциялар болса,
онда берілген теңдеудің екі жағын да
шамасына бөлу арқылы мына түрдегі
теңдеуді аламыз:
.
Осы
алынған теңдікке
ауыстыруын қолдансақ, онда теңдеу
айнымалысы ажыратылатын теңдеуге
келтіріледі. Ары қарай айнымалыларын
ажыратып, содан соң интегралдап,
-ті тауып,
болғандықтан, у
пен х
арасындағы тәуелділікті табамыз. Бұл
іздеп отырған біртекті дифференциалдық
теңдеудің жалпы шешімі болады.
Мысалдар.
1.
теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. Теңдеудің оң жағын түрлендіреміз:
.
Ол (9.6)
түрге келіп тұр. Теңдеудің екі жағын да
- ге бөлеміз:
.
Интегралдап
жіберсек, онда теңдеудің шешімі
жалпы интегралы болады, яғни
.
Мұнда
теңдеуінің түрі
.
Оның шешімдері
берілген дифференциалдық теңдеудің
шешімдері болып табылады. Бірақ жалпы
интегралға енбейді. Сондықтан
ерекше шешімдер болады.
2.
бастапқы шартты қанағаттандыратын
теңдеуін шешіңіз.
Шешуі.
Теңдеу (9.5) түрде берілген, ендеше
немесе
келеді. Интегралдасақ,
немесе
,
яғни
- теңдеудің жалпы шешімі. Осы шешімдердің
ішінен (4;1) нүктесі арқылы өтетін шешімді
бөліп аламыз. Ол үшін
х=4
және
у=1
мәндерін жалпы шешімге қоямыз:
,
С=4.
Ендеше,
- теңдеудің дербес шешімі.
3.
теңдеуінің жалпы интегралын табыңыз.
Шешуі.
Берілген теңдеу біртекті, себебі
,
-екінші ретті біртекті функциялар.
алмастыруын енгіземіз, сонда
.
Бастапқы теңдеуге қоямыз:
-
айнымалылары ажыратылған теңдеу, ендеше
,
интегралдаймыз:
.
белгілеуін енгізсек, онда
,
ескеріп,
- теңдеудің жалпы шешімін аламыз.
Бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер. Бернулли теңдеуі
Анықтама. Ізделінетін функциясы және оның туындысы арқылы сызықты болатын
(9.8)
теңдеуі
бірінші
ретті сызықты дифференциалдық теңдеу
деп аталады, мұндағы
-
кесіндісінде үзіліссіз функциялар.
Егер
болса, онда
(9.9)
біртекті
сызықты дифференциалдық теңдеу
деп аталады, ал
болса, біртекті
емес сызықты дифференциалдық теңдеу
деп аталады.
Сызықты дифференциалдық теңдеуді интегралдау тәсілдері.
а) Айнымалыларды алмастыру тәсілі немесе Бернулли тәсілі.
(9.8) сызықты дифференциалдық теңдеуді шешу үшін теңдеудің шешімін
(9.10)
түрінде
іздейміз, мұндағы
аралығында үзіліссіз дифференциалданатын
функциялар. Онда
болады да, (9.8) теңдеу мына түрге келеді:
.
(9.11)
болғандықтан
(9.11) теңдеуді интегралдау келесі
айнымалылары ажыратылған екі теңдеуді
интегралдауға келтіріледі:
және
.
Квадрат жақша ішіндегі өрнек нөлге тең
болатындай
функциясын таңдап аламыз. Ол үшін
бірінші теңдеуден
,
бұл теңдеудің дербес шешімдерінің бірі
,
ал екінші теңдеуден
.
Бұдан
жалпы шешімін тауып, оларды (9.10) - ға
қойып, (9.8) сызықты дифференциалдық
теңдеудің жалпы шешімін аламыз:
.
б) Ерікті тұрақтыны вариациялау тәсілі немесе Лагранж тәсілі.
(9.8) сызықты дифференциалдық теңдеуді шешу үшін, алдымен (9.9) біртекті сызықты дифференциалдық теңдеуді шешеміз. Оның шешімі:
,
(9.12)
мұндағы С – ерікті интегралдық тұрақты. Енді біртекті емес (9.8) сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін, (9.12) теңдіктегі С – ерікті интегралдық тұрақтыны С=С(х) дифференциалданатын функция ретінде қарастырып, іздейміз, яғни
.
(9.13)
Одан
туынды аламыз:
,
оларды (9.8) теңдеуге апарып қоямыз:
немесе
.
Бұл теңдеуді интегралдап, С(х) - ті табамыз:
.
Енді табылған С(х) - тің мәнін (9.13) теңдікке қойып:
-
(9.8) сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін аламыз.
в) Демеушілік көбейткіш тәсілі.
(9.8)
сызықты дифференциалдық теңдеуді шешу
үшін,
функциясын қарастырайық. (9.8) – ші
теңдеудің екі жағын
- ға көбейтеміз:
.
Бұл
теңдіктің сол жағындағы өрнек
функциясының туындысы
болатындай,
яғни
теңдігі орындалатындай
функциясын
іздейміз. Бұдан
.
Осы теңдеуді шешеміз:
.
Ендеше
- берілген (9.8) сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін аламыз.
Табылған
функциясы сызықты дифференциалдық
теңдеуге арналған демеушілік
көбейткіш
деп аталады.