Примеры решения задач 

1. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,04 Тл на подвесе помещен проводник длиной l = 70 см перпендикулярно линиям поля (рис.). Определить электромагнитную силу при токах I = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 и 2,5 А. При каком значении тока произойдет разрыв нити, если сила натяжения для ее разрыва F_н = 0,08 H, сила тяжести проводника Р = 0,018 H? Определить минимальный ток для раз­рыва нити подвеса.

Дано: В = 0,04 Тл I = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5 А Fн = 0,08 Н Р = 0,018 Н

Решение На проводник с током действует сила F = IBl. Определяем F для указанных значений токов: F1 = 0,5ּ0,04ּ70ּ10-2 = 0,014 H, F2 = 1ּ0,04ּ70ּl0-2 = 0,028 Н, F3 = 0,042 H, F4 = 0,056 H, F5 = 0,07 Н. Разрыв нити произойдет при Fн = P + F; следова­тельно, электромагнитная сила разрыва F = Fн – P = 0,08 – 0,018 = 0,062 H. Тогда I = F/(Bl) = 0,062/(0,04ּ0,7) = 2,2 А, т.е. минимальный ток разрыва нити подвеса со­ставляет 2,2 А Ответ: 2,2 А.

I – ?

2. На половину длины каркаса с наружным диа­метром D = 240мм и внутренним - d = 190мм, имею­щим прямоугольное сечение площадью S = 400 мм², равномерно нанесена обмотка медным проводом. Определить число витков, индуктивность, сопротивление обмотки и необходимую дли­ну провода (для намотки в один ряд), если магнитная индукция катушки на ее оси составляет В = 1,6ּ10^-3 Тл при токе катушки I = 3,6 А. Плотность тока J = 2 А/мм².

Дано: D = 240мм d = 190мм S = 400 мм2 В = 1,6ּ10-3 Тл I = 3,6 А J = 2 А/мм2	Решение В связи с тем, что намотка произведена на половину длины каркаса, расчет надо вести по формулам для прямолинейной катушки. Напряженность поля катушки Н = Iw / lк = 2Iw / lср, где lк = ½ lср; lср = πDср, где Dcp = = = 215 мм; lср = 3,14ּ215 = 675 мм. Напряженность поля можно определить из соот­ношения В = μμ0Н, откуда H = = = 1274 А/м.
w, L, lпр, R – ?

3. Тогда w = = = 120 витков.

4. Определим индуктивность катушки:

L = = = = 21,4ּ10^-6 Гн,

или L = = = 21,4ּ10^-6 Гн.

5. Найдем необходимую длину провода для намотки этой катушки. Длина одного витка l_вит = 82мм. Длина провода

l_пр = l_вит w= 82 ּ120 = 9840 мм = 9,84 м.

6. Определим диаметр и сечение медного провода, примененного для намотки катушки:

S_пр = I / J = 3,6 / 2 = 1,8 мм²,

d_пр = = = 0,57 мм.

7. Тогда его сопротивление

R = = 0,0176ּ = 0,096 Ом.

Ответ: 120 витков, 21,4ּ10^-6 Гн, 675 мм, 0,096 Ом.

3. Катушка, имеющая w = 500 витков, внесена в однородное магнитное поле, индукция которого возросла при этом от 0 до 0,8 Тл за время t = 0,1 с. К катушке подключен резистор сопротивлением R = 20 Ом. Определить ток и мощность, выделив­шуюся в резисторе, если сечение катушки S = 12 см² и ее сопротивление R_к = 4, Ом.

Дано: w = 500 витков dB = 0,8 Тл t = 0,1 с R = 20 Ом S = 12 см2 Rк = 4 Ом	Решение Определим ЭДС, наведенную в ка­тушке: е = – wS = – 500ּ10-4 = – 4,8 В. Зная сопротивление всей цепи R = 24 Ом, опре­делим ток в катушке: I = U / R = 4,8 / 24 = 0,2 А. Мощность, выделившаяся на резисторе, P = I2R = (0,2)2ּ20 = 0,8 Вт. Ответ: 0,2 А, 0,8 Вт.
I , Р – ?

4. Через центр кольца с площадью поперечного сечения S = 1 см², средним диаметром d = 3 см и чис­лом витков w = 100 пропущен провод. Определить ЭДС, наведенную в нем, если магнитная проница­емость сердечника μ = 3000, а ток I в обмотке кольца за t = 0,03 с изменился на 12 А.

Дано: S = 1 см2 d = 3 см w = 100 витков μ = 3000 S = 12 см2 t = 0,03 с	Решение ЭДС, наведенная в проводнике, е = – М . Для ее определения необходимо найти значение взаимной индуктивности: М = = = = =0,4ּ10-3 Гн. Тогда е = - 0,4ּ10-3ּ = 0,16 В = 160 мВ. Ответ: 0,2 А, 0,8 Вт.
е – ?

5. На стальное кольцо с магнитной проница­емостью μ = 4000 равномерно намотаны две обмотки с числом витков w = 800 и 300. Сечение кольца круглое, площадью S = 0,8 см², его наружный диа­метр D = 50 мм. Определить энергию магнитного поля внутри кольца, если токи I = 2 А и I = 4,5 А проходят: а) в одном направлении; б) в проти­воположном.

Дано: μ = 4000 w1 = 800 витков w2 = 300 витков S = 0,8 см2 D = 50 мм I1 = 2 А I2 = 4,5 А	Решение Энергия магнитного поля двух связан­ных катушек W = + =  MI1I2. Прежде чем определить эту энергию, найдем L1, L2 и М. Найдем индуктивность первой катушки: L1 = , где lср = Dср; (Dср = D – d). Найдем диаметр поперечного сечения кольца d из выражения S = d2 / 4: d = = = 10,4 мм и Dср = 50 – 10,4 = 39,6 мм.
W1, W2 – ?

4. Индуктивность L₁ = 40001,25610^-6 = 2,06 Гн.

5. Рассчитаем индуктивность второй катушки:

L₂ = 40001,25610^-6 = 0,29 Гн.

6. Определим взаимную индуктивность двух катушек:

М = = 40001,25610^-6300 = 0,775 Гн.

7. Зная L₁, L₂ и М, найдем значение энергии двух катушек:

а) при токах, проходящих в одном направлении,

W₁ = + + 0,775  2 4,5 = 14,07 Дж;

б) при токах, проходящих в противоположных направлениях,

W₂ = + – 0,775  2  4,5 = 0,11 Дж.

Ответ: 14,07 Дж, 0,11 Дж.

Контрольные вопросы 

1. Какие формулы из § 4.1 необходимо использовать, чтобы получить выражение (4.10) для определения индуктивности катушки?

2. Для определения собственной индуктивности служат формулы (4.9), (4.10), (4.11). После их анализа можно ли утверждать, что индуктивность не зависит от значений тока и потокосцепления?

3. Характеристика намагничивания В = f (Н) ферромагнитного материала, из которого изготовлен сердечник катушки (см. рис. 4.3, б), известна. Какие величины необходимо знать еще, чтобы построить кривую намагничивания сердечника катушки Ф = f (I)?

4. Характеристики В = f (Н) и Ф = f (I) по предыдущему вопросу предполагается построить на одном чертеже так, что ось ординат — общая для В и Ф, а ось абсцисс — общая для Н и I. Можно ли масштабы величин подобрать так, чтобы вторая кривая во всех точках чертежа совпала с первой?

5. Какое поле возникает вокруг движущихся электрических зарядов?

а) магнитное;

б) электрическое;

в) электромагнитное.

6. Напряженность магнитного поля Н = 0,57,  = 5. Определить индукцию магнитного поля В

а) В = 200 Вб;

б) В = 0,25  10^-3 Вб.

7. Какой характеристике магнитного поля соответствует размерность генри на метр (Г/м)?

а) Н;

б) ₀

8. Какой величеной является магнитный поток Ф?

а) векторной;

б) скалярной.

9. Какой величиной является магнитное напряжение U_м?

а ) векторной;

б) скалярной.

10. Имеется однородное магнитное поле напряженностью Н=5А/см. Определить магнитное напряжение на пути АВ, если l_АВ =10см.

а) 50А;

б) 0.

1 1. Заданы токи: I₁ =2А, I₂ = 3А. Определить полный ток, пронизывающий поверхность S.

а)  I = 10А;

б)  I = 0.

12. Влияет ли направление обхода контура на конечный результат при использовании закона полного тока?

а) не влияет;

б) влияет.

13. Какое свойство магнитной цепи является главным?

а) нелинейная зависимость В (Н);

б) способность насыщаться;

в) малое магнитное сопротивление.

14. Магнитный поток, пронизывающий контур, изменяется по закону Ф = Ф_m sin  t

По какому закону будет изменяться ЭДС?

а) е = - E_m sin  t

б) е = const

в) е = - E_m cos  t

15. Укажите единицу измерения для потокосцепления в СИ:

а) А м; б) Вб.

Задачи для самостоятельного решения 

1. Определить магнитную индукцию в точках А, В, С, расположенных так, как показано на рис. 4.25. Ток в проводах линии I = 1000 А, расстояние между проводами b = 40 см.

(Ответ: В_в = 10^-3 Тл).

Рис. 4.25

2. На кольцо из неферромагнитного материала (см. рис. 4.3, б), радиус которого по средней линии r = 10 см и площадь поперечного сечения S = 10 см², равномерно уложено N = 300 витков. Определить магнитное потокосцепление катушки при токе в ней I = 30 А. Найти ток в той же обмотке, если собственное потокосцепленне Ψ = 18 · 10^-4 Вб.

(Ответ: Ψ = 27·10^-4 Вб).

3. Определить индуктивность кольцевой катушки с числом витков N = 500, намотанных на неферромагнитный сердечник, имеющий прямоугольное поперечное сечение S = 6 см², внешний и внутренний радиусы 11 см и 9 см. При тех же размерах катушки (l, S) определить число витков ее обмотки, если индуктивность L = l,2 мГн.

(Ответ: L = 0,3 мГн).

4. На кольцевой сердечник из неферромагнитного материала, диаметр которого (по средней линии) D = 20 см, уложены две обмотки c числом витков N₁ =800, N₂ = 300. Определить магнитный поток в сердечнике и индуктивность при токе в обмотках I = 5A в двух случаях: а) обмотки включены согласно; б) обмотки включены встречно.

(Ответ: а) L = 0,098 Гн).

5. На замкнутый сердечник, длина которого l =30 см и поперечное сечение S = 5 см² намотана обмотка N = 500 витков. Определить индуктивность катушки и магнитный поток в сердечнике при токе в обмотке I = 3 А, если сердечник изготовлен: а) из электротехнической стали; б) из неферромагнитного материала. Найти абсолютную магнитную проницаемость электротехнической стали при найденных величинах В и Н.

(Ответ: а) L = 0,133 Гн).

6. Кольцевая катушка (см. рис. 4.3, б) N = 600 витков имеет сердечник, радиус которого r = 5 см и площадь поперечного сечения S = 6 см². Магнитный поток в сердечнике Ф = 36·10^-6 Вб. Определить ток и индуктивность катушки в двух случаях: а) сердечник неферромагнитный; б) сердечник из электротехнической стали.

(Ответ: а) L = 8,64·10^-4 Гн, I = 25А).

7. В сердечнике из листовой электротехнической стали марки 1311, размеры которого в миллиметрах показаны на рис. 4.10, требуется получить магнитный поток Ф = 3,2·10^-3. Определить ток в обмотке, имеющей N = 200 витков.

(Ответ: I = 4,5А).

8. Определить ток в обмотке по условию задачи 7, если в сердечнике выпилить воздушный зазор δ = 2 мм.

(Ответ: I = 14,76А).

9. В равномерном магнитном поле с индукцией В = 1,2 Тл находится прямолинейный проводник длиной l = 80 см с током I = 20 А. Определить силу, действующую на про водник в различных случаях его расположения по отношению к магнитному полю: между направлением тока и магнитной индукции угол α = 30°, α = 60°; α = 90°.

(Ответ: F_м = 19,2 Н [при α = 90°]).

10. В проводах воздушной линии, расположенных на одинаковом расстоянии l = 10 см друг от друга (рис. 4.26), токи I_В = I_С = 6000 А направлены в одну сторону, а ток I_А = 12 000 А противоположно. Определить силу, действующую на 1 м каждого провода.

(Ответ: F_мА = 249,1 Н).

Рис. 4.26

11. М агнитный поток в сердечнике катушки, создаваемый током в ее обмотке, изменяется по графику рис. 4.27. Построить график э.д.с., индуцированной в обмотке с числом витков N = 15.

(Ответ: Е = 150 В).

Рис. 4.27

12. Катушка с индуктивностью L = 30 мГн включается к источнику постоянного напряжения 50 В. Определить сопротивление R катушки, если известно, что в момент, когда ток достиг значения 10 А, скорость его нарастания составляла 1000 А/с.

(Ответ: R = 2 Ом).

13. В однородное магнитное поле под углом 60° к линиям магнитного поля помещена прямоугольная рамка с размерами сторон 30 и 50 см. Определить поток, пронизывающий эту рамку, если В = 0,9 Тл.

(Ответ: Ф = 0,117 Вб)

14. Определить диаметр рамки, помещенной в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В = 0,6 Тл под углом 45° к линиям магнитного поля, при этом Ф = 0,0085 Вб.

(Ответ: D = 16 см)

15. Прямолинейный проводник длиной l = 0,3 м, по которому проходит ток I = 12 А, помещен в од­нородное магнитное поле с магнитной индукцией В = 0,5 Тл. Определить силу, действующую на про­водник, если он расположен: а) перпендикулярно линиям поля; б) вдоль линий поля.

(Ответ: F₁ = 1,8 H, F₂ = 0.)

16. В однородном магнитном поле находится прямолинейный проводник с током I = 25 А и длиной l = 80 см под углом 30° к вектору магнитной ин­дукции. Определить магнитную индукцию поля, если сила, действующая на проводник, F = 3,2 Н.

(Ответ: В = 0,32 Тл)

17. Определить угол между проводником длиной l = 1,2 м, по которому проходит ток I = 30 А, и век­тором магнитной индукции В = 1,2 Тл однородного магнитного поля, если сила, действующая на этот проводник, F = 8,5 Н.

(Ответ: α = 11,5°)

18. Магнитная индукция в точке, отстоящей от прямолинейного проводника, находящегося в воз­душной среде, на расстоянии R = 10 мм, составляет В = 0,002 Тл. Определить ток в про­воднике.

(Ответ: I = 100 А)