Раздел 2. Промышленная электрическая система стабилизированного напряжения.

Рассмотрим замкнутую систему регулирования, состоящую из трех инерционных звеньев.

ш

Рис.6 Промышленная электрическая система стабилизации напряжения

Эти звенья описываются следующими дифференциальными уравнениями в операторной форме:

• регулятор:

- {Т_]Р + \)и_{=К_х{и_э-и_ъ)

• возбудитель:

• (г_2Р+1)£/₂=ед

• генератор:

• (T₃p + \)U₃=K₃U₂

где

U1, U2, U3, Ш - напряжения на выходе звеньев генератора, возбудителя, регулятора и

эталонное напряжение;

ТЗ, Т2, Т1 - постоянные времени генератора, возбудителя, регулятора;

КЗ , К2, К1 - коэффициенты передачи генератора, возбудителя, регулятора;

Конкретизируем эти значения. Для генератора Т2-25-2, мощность Рг=25000кВт, напряжение Ur= U3 =6,3 кВ, постоянная времени Тг=ТЗ =9,9 сек. Для возбудителя ВТ-120- 300, мощность Рв=130 кВт, напряжение Ub=U2 =250 В, скорость нарастания напряжения ЗЗОВ/сек, постоянная времени Тв=Т2 =250/330=0,76 сек. Не указывая тип регулятора примем его данные: коэффициент трансформации трансформатора, питающего регулятор пн=6300/220. Разность напряжений на входе регулятора между эталонным и напряжением генератора в установившемся режиме иэуст-Шуст=22 В, напряжение на выходе регулятора Up=Ul =220 В, коэффициент передачи регулятора (без учета трансформатора напряжения) Кр=220/22=10, постоянная времени Тр=Т1 =0,5 сек. Значение коэффициентов передачи звеньев КЗ =6300/250=25, К2 =250/220=1,13, К1 = Кр/ пн =10*220/6300=0,35.

Найдем дифференциальные уравнения системы и соответствующее ему характеристическое уравнение.

Перемножая между собой, правые и левые части уравнений, описывающих регулятор, возбудитель, генератор, получим дифференциальное уравнение системы в виде:

(T_lP+\)(т₂р+\){т_ъР+ад=к_хк₂к_ъ{и_э - из)

или

[(7Jp +1 )(Т₂р + l)(T,p +1)+ K_tK₂K, Р, = K_tK₂K,U,

Приравняем к нулю правую часть последнего уравнения, для получения характеристического уравнения и характера его корней:

{Т_хр +1 )(Т₂р + ЩТшР+1) + = о

Раскроем скобки получим:

1 + Т?₂Т₂р^ъ + (Т,Т₂ + Т₂Т_г + Щ )р² + (7]+Т₂+Т₃)р + К,К₂К, = О Введем обозначения:

тт ~ ^ао

Т{Г₂ + Т₂Т₃ + Т₃Т_г = а_{

Т\+Т₂ + Т₃= а₂

Определим их числовые значения:

а₀ =0.5*0.76*9.9 = 3.76 а, = 0.5 * 0.76 + 0.5 * 9.9 + 0.76 * 9.9 = 12.85 а₂ = 0.5 + 0.76 + 9.9 = 11.16

д₃ = 0.35*1.13*25 + 1 = 11 Теперь характеристическое уравнение системы имеет вид:

З.76р³ + 12.85р² +11.16/7 + 11 = 0.

По нему (критерий устойчивости Рауса- Гурвица) можно проверить систему на устойчивость работы. Имеем:

1 ,а₀ =3.76>0, а_} = 12.85 >0, а₂ = 11.16>0, а_ъ = 11 > 0

■а, а_%

2.Д₂ = ¹ I = 101.5 > 0 :«о ^а2\

Система будет работать устойчиво.

Понятие устойчивости и ее расчет.

Для того чтобы система регулирования могла нормально выполнять предписанные ей функции, необходимо, прежде всего, обеспечить устойчивость ее движения. В процессе работы на систему действуют различные возмущающие силы, вызывая отклонение от заданного закона движения. Если под влиянием возмущения система отклонилась от состояния равновесия или заданного закона движения и после прекращения действия внешнего возмущения снова возвращается к исходному состоянию, то движение в системе является устойчивым, сходящимся к исходному состоянию.

Рассмотрим линейную систему. Положим, что линейная система регулирования описывается системой линейных дифференциальных уравнений: dx-

1. *Ш а_пХ\ + a_i2x₂ +... + a_inx_n + F_t(t), i = 1,2,..л. at

Решение линейного дифференциального уравнения состоит из решения линейного однородного дифференциального уравнения, определяющего свободное движение, и частного решения, которое соответствует вынужденному движению системы. Следовательно, для системы решение можно записать в виде:

*ЛО = */(Ос_в+*ДО_вы«

Переходный процесс, или свободные колебания * определяется разностью:

Так как последнее вьфаженне является решением однородного дифференциального уравнения, то из системы находим:

dx.

Ice

i = 1,2,..я

1 ce+W

а_;,х.

dt

+ ... + a_inx_ncs,

Уравнение является уравнением возмущенного движения. В соответствии с определением устойчивости по Ляпунову можно утверждать, что линейная система будет устойчива, если отклонение возмущенного движения от невозмущенного стремиться к нулю с течением времени. Неограниченное сближение возмущенного и невозмущенного движения, при f —> оо в асимптотически устойчивой линейной системе, соответствует тому, что свободное движение, или переходной процесс в системе при t —> оо затухает. Из этого можно сделать вьюод об условии устойчивости линейных систем. Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости невозмущенных движений линейных систем является выполнение требования, в соответствии с которым все корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части.

Наличие среди корней характеристического уравнения хотя бы одного с положительной вещественной частью свидетельствует о невыполнении этого условия, т.е. приводит к неустойчивости движения.

Устойчивость в линейной системе характеризуется затуханием свободного движения, или переходного процесса. Так как затухание переходного процесса в свою очередь определяется только корнями характеристического уравнения и не зависит от воздействий, приложенных к системе регулирования, то устойчивость является внутренним свойством линейной системы. Поэтому можно говорить об устойчивости не только движений и состояний, одна система может быть устойчивой, другая — неустойчивой.

Пусть решение однородного уравнения, определяющее свободное движение, имеет вид:

ы

C

где

i - постоянные величины, определяемые начальными условиями;

А, - корни характеристического уравнения, не равные друг другу.

В общем случае корни характеристического уравнения являются комплексными:

в_пЯ¹ + Q_n_\Л^п * +... + + а₀ ⁼ О

Каждый корень Я_; —а_{ + jfy всегда может быть показан на комплексной плоскости в виде

соответствующего вектора. Обозначая концы векторов на комплексной плоскости точками и, считая, что действительная ось слева от мнимой оси соответствует отрицательным значениям вещественных частей корней характеристического уравнения, можно сформулировать условие устойчивости следующим образом: необходимым и достаточным условием устойчивости системы является расположение корней характеристического уравнения в левой полуплоскости.

Е сли все корни, кроме одного, располагаются слева от мнимой оси, а один является нулевым, то линейная система будет нейтрально устойчивой. В этом случае система на удовлетворяет условиям асимптотической устойчивости, что выражается в стремлении свободного движения при t —> оо не к нулю, а к некоторой постоянной величине.

Для определения устойчивости системы по необходимому и достаточному условию нужно уметь находить корни характеристического уравнения.

Так как реальные системы описываются характеристическими уравнениями высокого порядка, нахождение их корней очень сложно и поэтому на практике задачу устойчивости решаю косвенным образом, без нахождения корней алгебраического уравнения с помощью соответствующих критериев устойчивости:

• алгебраических Рауса-Гурвица;

• частотных Михайлова, Найквиста.

Критерий устойчивости Рауса- Гурвица

Сущность критерия Рауса заключается в следующем. Пусть имеем характеристическое уравнение а₀Л^п + Я|Л”^-1 +... + + а_п = 0. Полагаем, что коэффициент а₀ > 0. Если это не так, то умножением на -1 характеристическое уравнение приводится к нужной форме. Раус составлял таблицу коэффициентов, используя следующее правило. Первая строка - коэффициенты характеристического уравнения с четным индексом. Во второй - коэффициенты с нечетным индексом. Коэффициенты в третьей строке выражаются через элементы двух первых строчек, а в четвертой строке - через элементы второй и третьей строк по формулам

^СкЗ ^=а2к ~’ ^г0^а2/Ы-1» ^СкА ^{= а}2к+\ " ^Г1^Ск+\,3

г₀ = -ЗЦ г, = ■-3*» k = 1,2,3... - номер столбца

^а\ ^С\,3

Коэффициенты в пятой, шестой и во все последующих строках вычисляются по формулам с аналогичной структурой:

*4+1,3 ^Г2

^Ск5 ~ ^Ск+1,3 “ ^Г2^Ск+\А “L 1 рЛ+1,4 ¹

°к+1./-2 П-З

^Cki~^Ck+\,i-2 ^-3^С*+1,М~1 л I

^Ск+\4-\ ¹ I

Процесс заполнения таблицы продолжается до тех пор, пока при заданном порядке характеристического уравнения не получится строка, содержащая один коэффициент, соответствующий свободному члену характеристического уравнения.

Раус доказал, что для выполнения условия устойчивости и, следовательно, для расположения всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого таблицы были положительными, т.е. а₀ > 0, а_х > 0, с₁₃ > 0, с₁₄ > 0, с₎₅ > 0, с₁₆ > 0, ...

Если неравенства выполняются и все корни отрицательные и вещественные, то, как следует из выражений, все коэффициенты характеристического уравнения будут положительными.

Гурвиц также оперировал с характеристическими уравнениями и установил необходимые и достаточные условия устойчивости с помощью неравенств, которые определяются по матрице коэффициентов характеристического уравнения:

Щ	Щ	0	0	. 0
С Ui	Щ	щ	Щ	* 0
*о 3	а4	ч	@2,	0
<3	Щ	%		* Q
► о	0	0	0	. ап

При составлении матрицы вначале до диагонали слева на право выписываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а_{ и далее в порядке возрастания индекса до коэффициента а_п включительно. Строки вправо от диагонали заполняются коэффициентами в порядке убывания индекса- При этом коэффициенты с отрицательными индексами заменяются нулями. В строках слева от диагонали проставляются коэффициенты в порядке возрастания индекса. Коэффициенты с индексами, превышающими порядок характеристического уравнения п, заменяются нулями. Гурвиц доказал, что для выполнения условия устойчивости и, следовательно, для расположения всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости необходимо и достаточно, чтобы все в диагональных миноров матрицы были положительными, т.е. необходимо выполнение неравенств:

\&\ a_f]

A

>0,

j ж а, > О, Д₂

	^0	0	0	* 0
%	а2	Щ	щ	. 0
	а4	Щ	аг	. 0
. о	й		*т*	* ап-
0	й	0	0	, ап

	*3		0
£> щ I	а3	%	Ч
	%	а4	%

д„

>0

Диагональные миноры называются определителями Гурвица. Применяя критерий Гурвица, можно показать, что для систем первого й второго порядков Ж, необходимым и достаточным условием устойчивости ядешегид® Ш$В№ШИШШЕКШт коэффициентов характеристического уравнения. Для систем третьего и более высокого порядка выполнение этого условия необходимо, но не достаточно.

Критерий устойчивости Михайлов!

Критерий ’устойчивости Михайлова принадлежит к числу частотных .критериев и позволяет оценить устойчивость системы по виду годографа, который М'&шх быть получен из характеристического уравнения. Пусть имеется характеристическое уравнение системы регулирования:

£)(Л) — а₀Л^п + щХ* ^ + **»+в_п_\Л + а_п ** О

Заменяем А величиной w:

D(jw) т a₀(jw)ⁿ + +... + a_n_Jw + а_п=0

Шт уравнение нри изменении частоты w от —об-¹ до позволяет построить на

комплексной плоскости годограф, по виду которого можно судить об устойчивости системы. Предположим, что из всех корней характеристического уравнения порядка п в правой полуплоскости находятся ш корней, а оставшиеся n-m корней располагаются слева от мнимой оси и, следовательно, имеют отрицательную вещественную часть. Найдем

изменения аргумента вектора D(jw), т.е. AargD(jw), при — оо < w < оо. Годограф вектора D(jw) называется характеристической кривой или кривой Михайлова

Так как число корней в левой полуплоскости равно n-m, то ш общее изменение аргумента левых векторов типа jw — A_f равно (п — гп)п

AargD(jw) = (n- rri)7Tt при - оо < w < со Положим ш=0, получим

AargD(jw) = яяг, при - оо < w < оо Диапазон отрицательных частот — оо < w< 0 из полученного выражения можно исключить, т.к. годограф D(jw) для отрицательных частот относительно действительной оси расположен симметрично относительно D(jw).

к

AargD(jw) = п -, при 0 < w < оо

Эта формула определяет необходимые и достаточные условия устойчивости системы в замкнутом состоянии и одновременно является математической формулировкой критерия устойчивости Михайлова. На основании последнего выражения можно дать формулировку критерия устойчивости Михайлова: для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jw), описывающий своим концом кривую Михайлова, при изменении частоты w от 0 до + оо, начав свое движение с положительной действительной оси, и, вращаясь против часовой стрелки, последовательно проходил п квадрантов, нигде не обращаясь в нуль.

Если условия, сформулированные в критерии, нарушаются, то система становится не устойчивой.

На рис.7 показаны кривые Михайлова для устойчивых систем, порядок характеристических которых п=1,3,5.

Рассмотрим пример. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

К

fV(s) = —. Оценим устойчивость системы в замкнутом состоянии.

s(Ts -1) К

Передаточная функция замкнутой системы Ф($)= ~ позволяет найти

Ts -s + К

уравнение годографа:

Wjw)^K~fw² .2

u

jw m u(w) + jv{w)

(w) *= К — Tw v(w) = —w Действительная и мнимая части показывают, что кривая Михайлова начинается на положительном направлении действительной оси, но проходит сначала IV, а Я! Ш квадранты, что не соответствует условиям критерия. Следовательно, система в замкнутом состоянии неустойчива (рис.8).

Критерий устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста позволяет оценить устойчивость системы при непосредственном использовании характеристического уравнения. Вместе с тем, руководствуясь основными положениями критерия, можно судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно­фазовым характеристикам разомкнутой системы.

Необходимые и достаточные условия устойчивости систем были сформулированы Найквистом в 1932 году применительно к электронным усилителям с отрЩйШШМв обратной связью. Сущность критерия сводится к следующему. Полагаем, что систем! Р передаточной функцией D(jw) в разомкнутом состоянии устойчива и не имеет полюсов в начале коордадат* То вдраж^юш* определяющее характерн$ткч®©|ш1 »е*сщр D(fw):

=

М (jw)

Д.1М

i+

* DJjw)\\ * W (iw)] ->

D

\ + W(jw)

(jw)

D_p(jw)

Полином числителя определяет характеристическое уравнение вжяЩр i полином знаменателя характеристическое уравнение разомкнутой системы.

Лйаи разомкнутая система устойчива, то характеристическое уравнение DAX) т О имеет корни, расположенные только в ЯШЙй ЧйаТй полуплоскости. Следовательно, вектор D (Л), при изменении частоты от 0 до + оо, будет иметь приращение аргумента, равное

ж

п - , В случае, когда замкнутая система также устойчива, вектор DAX) имеет приращение

2

Ш

аргумента, равное той же величине п при изменении частоты в тех же пределах.

Учитывая это, можно найти изменение аргумента вектора 1 + W(jw):

A argfl + W(yw)] = Aarg[D(jw)]- ДargjZ)^(yw)J = 0, при 0 < w < oo Если разомкнутая система устойчива, а замкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение D(X) = 0 имеет m корней в правой полуплоскости, то изменение аргумента вектора 1+ W (jw)

Aargfl + W(jw)] = (п- 2т)^П ... - п - = -тя, при 0 < w < оо

W {jw) = u(w) + jv(w)

Тогда на осях координат u(w) и jv(w) амплитудно-фазовые характеристики W{jw), 1 + IV(jw) будут иметь начало в точке (-1; jO).

В случае устойчивости замкнутой системы результирующий угол поворота вектора

1. + W(jw) вокруг точки А с координатами (-1; jO) при изменении частоты от 0 до +оо равен 0 (кривая 1). Точка В характеризует некоторое промежуточное положение векторов W(jw) и \ + W(jw).

Для неустойчивой системы в замкнутом состоянии результирующий угол поворота вектора 1+ W(jw) относительно точки (-1; jO) отличен от нуля и определяется выражением

Aargfl + W{jw)]={n-2m)— -п^Ж = -тп, npuO<w<oo. Этот случай иллюстрируется

2. 2

амплитудно-фазовой характеристикой 2

На основании этих уравнений можно дать следующую формулировку критерия устойчивости Найквиста: если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку на действительной оси с координатами (-1 jO).To4Ka (-1 JO) на действительной оси называется критической.