2.2 Постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання в стержні

При розв’язуванні задач математичної фізики, необхідно з нескінченної множини розв’язків диференціального рівняння, яке описує загальний фізичний процес, виділити єдиний роз-в’язок даної задачі. Для цього потрібно ввести додаткові умови, які були б характерними для цієї задачі і задовольняли розв’язок диференціального рівняння.

Постановка задачі складається з диференціального рівняння та крайових умов. Крайові умови поділяються на початкові і граничні.

Початкові умови (П.У.) характеризують стан стержня в початковий момент часу . Вони задають початкові зміщення та початкові швидкості точок стержня.

(2.10)

де – зміщення будь-якого перерізу х в момент часу (епюра зміщень); – швидкість точок стержня в момент часу ; та – задані функції.

Граничні умови (Г.У.) показують, що відбувається на кінцях стержня під час коливань.

Розглянемо різні види граничних умов:

1) Нехай один кінець стержня жорстко закріплений, а другий вільний (Рисунок 2.2).

Якщо вважати, що нерухомим кінцем стержня є , а вільним , то:

Рисунок 2.2 – Стержень з одним закріпленим кінцем, а другим – вільним

(2.11)

Дійсно так, бо для закріпленого кінця характерним є те, що зміщення його весь час дорівнює нулю, а для вільного кінця – те, що у перерізі пружна сила . Отже, . Звідси

2) Нехай один кінець стержня жорстко закріплений, а до вільного кінця ( ) прикладена сила P (Рисунок 2.3). Тоді маємо:

Рисунок 2.3 – Один кінець жорстко закріплений, а на другий діє сила Р

(2.12)

3) Нехай обидва кінці стержня жорстко закріплені

(Рисунок 2.4 ). Тоді:

Рисунок 2.4 – Обидва кінці стержня жорстко закріплені

(2.13)

4) Нехай один кінець стержня ( ) жорстко закріп-лений, а на другому кінці ( ) має місце в’язкий опір з коефіцієнтом в’язкості (Рисунок 2.5).

Тоді враховуючи, що сила в’язкого опору пропорційна швидкості руху і, записуючи умову рівноваги на правому кінці, маємо:

Рисунок 2.5 – На правому кінці має місце в’язкий опір

(2.14)

5) Нехай один кінець стержня ( ) жорстко закріп-лений, а на другому ( ) міститься вантаж масою М (Рисунок 2.6).

Тоді на цьому кінці виникає сила інерції, яка дорівнює добутку маси вантажу на прискорення руху. Записуючи умову рівноваги на кінці маємо:

Рисунок 2.6 – Один кінець стержня жорстко закріплений, а на другому міститься вантаж масою М

(2.15)

6) Нехай один кінець стержня ( ) жорстко закріп-лений, а другий ( ) – пружно: до цього кінця прикріплена пружина жорсткістю с (Рисунок 2.7). Оскільки вважається, що сила натягу пружини прямо пропорційна зміщенню, то, записуючи умову рівноваги на кінці маємо:

Рисунок 2.7 – Один кінець стержня жорстко закріплений, а другий кінець пружно закріплений

(2.16)

Задача 2.1 Стержень довжиною l, один кінець якого жорстко закріплений, перебуває у стані спокою. У деякий момент часу ( ) до його вільного кінця прикладена сила Q, напрямлена вздовж осі стержня. Поставити задачу про поздовжні коливання в стержні.

Щоб поставити задачу, потрібно записати диференціальне рівняння, яке моделює даний фізичний процес, а також початкові та граничні умови, які відображають специфіку цієї задачі. Вважаємо, що стержень перебуває в стані спокою. Коливання виникають у момент прикладання сили Q до вільного кінця, отже,

Задача 2.2 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а до вільного кінця прикладено силу P, причому в момент часу дія сили раптово припиняється.

Як і в попередній задачі вважаємо, що в початковий момент часу стержень перебуває у стані спокою. Сила P до її зняття встигла розтягнути стержень – кожний переріз х на свою величину U. Знайдемо її:

, .

Проінтегрувавши останнє рівняння по змінній х у межах від 0 до х, отримаємо:

. Тоді постановка задачі має вигляд:

Зауважимо, що тут коливання виникають у момент зняття сили Р.

Задача 2.3 Верхній кінець вертикального підвішеного важкого стержня прикріплений до стелі ліфта, який вільно падає, причому досягнувши швидкості V, він раптово зупиняється. Поставити задачу про поздовжні коливання стержня.

Тут коливання виникають у момент зупинки ліфта, коли раптово починає діяти сила тяжіння. Сила тяжіння відноситься до зовнішніх сил і тому її вплив проявиться в диференціальному рівнянні, отже,