6.7 Мішана задача

Знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні Г рівняння Лапласа, а у кожній точці М границі Г виконується умова:

Г.У. (6.42)

де функції та є заданими. Цю задачу ще назива-

ють задачею з косою похідною.

6.8 Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Нехай – гармонічна функція трьох змінних. Тоді для неї рівняння Лапласа має вигляд:

(6.43)

Введемо у розгляд циліндричні координати які пов’язані з декартовими координатами формулами

(6.44)

Звідси зворотній зв’язок:

(6.45)

Щоб записати рівняння Лапласа в циліндричних корди-натах, знайдемо відповідні частинні похідні функції , використовуючи формули диференціювання складеної функ-ції декількох змінних:

Враховуючи, що:

Отримаємо:

(6.46)

Це і є рівняння Лапласа в циліндричних координатах.

Якщо функція U не залежить від z, а лише від x та y, то рівняння Лапласа буде мати вигляд

(6.47)

де r та – полярні координати на площині. Знайдене рівнян-

ня є рівнянням Лапласа в полярних координатах.

Приклад 6.3 Знайдемо розв’язок рівняння Лапласа в області D, що обмежена двома колами та якщо граничні значення задаються:

Г.У.

де та – сталі.

• Це може бути, наприклад, задача про стаціонарний розподіл температури у кільці між двома колами, якщо на самих колах температура задана.

Розв’язуємо задачу у полярних координатах. Очевидно, шукана функція не залежить від кута . Тоді рівняння Лапласа набуває найпростішого вигляду:

Це звичайне диференціальне рівняння другого порядку, яке допускає пониження порядку. Інтегруючи його, знайдемо

Визначимо та із граничних умов:

звідси

остаточно отримаємо :

6.9 Задача діріхле для круга

Нехай у площині хоу є круг радіуса R з центром в початку координат. на його колі задана деяка функція де – полярний кут. Треба знайти функцію неперервну у крузі, яка задовольняє всередині круга рівняння Лапласа. Постановка задачі в полярних координатах має вигляд:

Перепишемо рівняння Лапласа, помноживши його на :

Будемо шукати розв’язок методом Фур’є. припустимо, що функцію можна представити у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної:

(6.48)

Підставляючи її в рівняння та враховуючи, що

та отримаємо:

Відокремимо змінні:

Отже, рівняння Лапласа розпалося на два диференціаль-них рівняння:

( І )

. ( ІІ )

З рівняння ( І ) маємо

k²+λ=0,

Тоді (6.49)

Оскільки задана область – круг, то якщо кут збільшити на 2π, то точка M(r,φ) повернеться у своє початкове положен-ня. Отже, функція Ф(φ) – 2π-періодична, а це означає, що число має бути цілим: або

Тоді отримаємо множину функцій:

,

Коефіцієнти та визначаємо з рівняння ( ІІ ).

Розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді , де – невідомий параметр. Підставимо цю функ-цію у рівняння:

(6.50)

Поділивши на , отримаємо:

Зазначимо, що – сторонній корінь, оскільки при функція Отже, Остаточно маємо:

(6.51)

Завдяки лінійності та однорідності рівняння Лапласа сума частинних розв’язків:

(6.52)

буде також розв’язком рівняння Лапласа. Для знаходження коефіцієнтів та використаємо граничну умову:

Це є ряд Фур’є для функції з коефіцієнтами та

які визначаються за формулами Фур’є:

Звідси:

(6.53)

Таким чином, розв’язком задачі Діріхле у крузі радіуса R є функція (6.52) з коефіцієнтами (6.53).