Івано-Франківський національний технічний

університет нафти і газу

Л.І. Камаєва, Л.І. Криштопа,

Т.М. Даляк, С.О. Камаєва

Вища математика

(Рівняння Математичної Фізики.

елементи операційного числення)

Навчальний посібник

2008

Міністерство освіти і науки України

Івано-Франківський національний технічний університет

нафти і газу

Кафедра вищої математики

Л.І. Камаєва, Л.І. Криштопа,

Т.М. Даляк, С.О. Камаєва

Вища математика

(Рівняння Математичної Фізики.

елементи операційного числення)

Навчальний посібник

для студентів напряму

„Нафтогазова справа”

Івано-Франківськ

2008

МВ 02070855 – 2204 – 2008

Л.І. Камаєва, Л.І. Криштопа, Т.М. Даляк, С.О. Камаєва Вища математика (Рівняння математичної фізики. Елементи операційного числення): Навчальний посібник. – Івано-Франківськ: Факел, 2008. – 106 с.

Пропонований навчальний посібник покликаний допо-могти студентам напряму „Нафтогазова справа” ознайомитись з курсом рівнянь математичної фізики та елементами опера-ційного числення. Виклад матеріалу ілюструється рисунками, прикладами та зразками їхнього розв’язування.

Рецензенти: професор, завідувач кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету ім. Ю. Фе-дьковича, доктор фізико-математичних наук, В.К. Маслючен-ко.

професор, провідний науковий співробітник інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстри-гача НАН України, доктор фізико-математичних наук, В.В. Михаськів.

професор, завідувач кафедри буріння нафтових і газових свердловин Івано-Франківського національного технічного університету нафти і газу, доктор технічних наук, Я.С. Коцкулич.

Голови навчально-методичних об’єднань спеціальностей:

Є.І. Крижанівський

Я.С. Коцкулич

Ю.Д. Петрина

Завідувач кафедри

вищої математики В.М. Мойсишин

Член експертно-рецензійної

комісії університету П.Д. Романко

Нормоконтролер О.Є. Шевчук

Коректор Н.Ф. Будуйкевич

Інженер І категорії Н.В. Мирка

Дане видання – власність ІФНТУНГ. Забороняється тиражування та розповсюдження.

МВ 02070855 – 2204 – 2008

Л.І. Камаєва, Л.І. Криштопа, Т.М. Даляк, С.О. Камаєва Вища математика (Рівняння математичної фізики. Елементи операційного числення): Навчальний посібник. – Івано-Франківськ: Факел, 2008. – 107 с.

Пропонований навчальний посібник покликаний допо-могти студентам напряму „Нафтогазова справа” ознайомитись з курсом рівнянь математичної фізики та елементами опера-ційного числення. Виклад матеріалу ілюструється рисунками, прикладами та зразками їхнього розв’язування.

Рецензенти: професор, завідувач кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету ім. Ю. Фе-дьковича, доктор фізико-математичних наук, В.К. Маслючен-ко.

професор, провідний науковий співробітник інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстри-чака НАН України, доктор фізико-математичних наук, В.В. Михаськів.

професор, завідувач кафедри буріння нафтових і газових свердловин Івано-Франківського національного технічного університету нафти і газу, доктор технічних наук, Я.С. Коцкулич.

Рекомендовано методичною радою університету.

Дане видання – власність ІФНТУНГ. Забороняється тиражування та розповсюдження.

Зміст

Вступ...............................................................................................5

Лекція 1 основні поняття математичної фізики. диференціа-льні рівняння з частинними похідними……….....................…..7

1.1 Предмет математичної фізики. диференціальні рівняння з частинними похідними.................................................................7

1.2 Зведення до канонічного виду рівняння другого поряд-ку………..........…..............................................…….………..…..8

Лекція 2 Поздовжні коливання стержня .............................… 17

2.1 Поздовжні коливання стержня. Виведення хвильового рів-няння…....................….....….........................…………….......…17

2.2 Постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання в стержні.........................................……….……… 21

Лекція 3 поперечні коливання струни..................................…28

3.1 Поперечні коливання скінченої струни. Виведення хвильо-вого рівняння ...............................................................................28

3.2 постановка задачі про поперечні коливання струни.........31

3.3 Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни……........................................…………………………. 32

Лекція 4 Методи розв’язування задач про коливання струни35

4.1 Поперечні коливання нескінченної струни ..........……… 35

4.2 Поперечні коливання скінченної струни ….…….......… 39

4.3 Фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливан-ня….………..............................................................................…46

4.4 Вимушені коливання струни................................................49

Лекція 5 Розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня…..................……......................................................….58

5.1 Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня………..……....................………………....58

Лекція 6 розповсюдження тепла................................................65

6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровід-ності..............................................................................................65

6.2 Постановка задачі теплопровідності..................................70

6.3 Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності.73

6.4 Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа.............................82

6.5 Задача Діріхле........................................................................83

6.6 Задача Неймана......................................................................84

6.7 Мішана задача........................................................................84

6.8 Рівняння Лапласа в циліндричних координатах................85

6.9 Задача діріхле для круга.......................................................88

Лекція 7 Елементи операційного числення.............................92

7.1 Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними................92

7.2 Зображення згортки...............................................................95

7.3 Схема побудови розв’язку диференціального рівняння з частинними похідними...............................................................97

Перелік використаних джерел…………….…………......….. 106

Вступ

Мета цього посібника – допомогти студентам глибше засвоїти матеріал таких спеціальних розділів, як „Рівняння ма-тематичної фізики” та „Операційне числення”. Математична фізика, як теорія математичного моделювання фізичних явищ, займає особливе місце як у математиці, так і у фізиці. Перебуваючи на стику цих наук, математична фізика тісно зв'язана з фізикою в тій частині, яка стосується побудови математичної моделі, і в той самий час математична фізика – розділ математики, оскільки методи дослідження моделей є математичними.

Наприкінці XVII століття методи математичної фізики як теорії математичних моделей почали інтенсивно розроблятися в працях І. Ньютона щодо створення основ класичної механі-ки, всесвітнього тяжіння, теорії світла. Подальший розвиток методів математичної фізики (XVIII – перша половина XIX століття) і їхнє успішне застосування до вивчення математич-них моделей величезного обсягу різних фізичних явищ пов'я-зані з іменами Ж. Лагранжа, Л. Ейлера, П.Лапласа, Ж. Фур’є, К. Гауса, Б. Рімана, М. Остроградського та інших учених.

Великий внесок у розвиток методів математичної фізики зробили О. Ляпунов та В. Стєклов. З другої половини XIX століття методи математичної фізики успішно використовува-лися для вивчення математичних моделей фізичних явищ, пов'язаних з різними фізичними полями і хвильовими функ-ціями в електродинаміці, акустиці, теорії пружності, гідро- й аеродинаміці та інших напрямах дослідження фізичних явищ у суцільних середовищах. Математичні моделі цього класу явищ найчастіше описуються за допомогою диференціальних рівнянь з частинними похідними, що одержали назву рівняння математичної фізики.

У зв'язку з бурхливим розвитком електронної та обчислю-вальної техніки, особливе значення для дослідження матема-тичних моделей фізики набувають прямі чисельні методи, і в першу чергу скінченно-різницеві методи розв’язування крайо-вих задач, що дозволило методами математичної фізики ефек-тивно вирішувати нові задачі газової динаміки, теорії перено-су, фізики плазми, у тому числі і зворотні задачі цих напрям-ків фізичних досліджень. Поряд із традиційними розділами математики стали широко застосовуватися теорія операторів, теорія узагальнених функцій, теорія функцій багатьох комп-лексних змінних, топологічні і алгебраїчні методи. Інтенсивна взаємодія теоретичної фізики, математики і використання комп’ютерів у наукових дослідженнях, призвела до значного розширення математики, створення нових класів моделей і піднесла на новий рівень сучасну математичну фізику.

Постановка задач математичної фізики полягає в побудові математичних моделей шляхом виведення диференціальних, інтегральних, або алгебраїчних рівнянь, що характеризувати-муть відповідний фізичний процес та описуватимуть основні закономірності досліджуваного класу явищ. При цьому вихо-дять з основних фізичних законів, що враховують тільки най-істотніші риси явища, відволікаючись від низки його друго-рядних характеристик. Ефективним способом розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними є викори-стання операційних методів, зокрема, перетворення Лапласа.

Теоретичний матеріал цих розділів можна знайти в підручниках [1–6], тому даний конспект лекцій містить в собі у вигляді довідкового матеріалу в рамках робочої програми для спеціальностей нафтогазової справи лише ті короткі відомості з теорії, які безпосередньо застосовуються при розв’язуванні задач.

На нашу думку, цей посібник може бути використаний як студентами, так і викладачами, які ведуть практичні заняття з курсу математичної фізики.

Лекція 1 основні поняття математичної фізики. диференціальні рівняння з частинними похідними

1.1 Предмет математичної фізики. Диференціальні рівняння з частинними похідними

Предметом математичної фізики – є теорія моделюван-ня фізичних явищ, пов’язаних з температурними, хвильовими та іншими процесами. Ці фізичні задачі моделюються дифере-нціальними рівняннями з частинними похідними.

Зупинимось на основних поняттях таких рівнянь.

Означення 1.1 Диференціальним рівнянням з частинними похідними відносно функції називається рівняння, що містить хоча б одну з її частинних похідних. Найвищий порядок частинної похідної, що входить в рівняння, називається порядком диференціального рівняння.

Наприклад, – є диференціальним рівнянням з частинними похідними 4-го порядку для функції

Означення 1.2 Функція називається розв’язком диференціального рівняння з частинними похідними, якщо в результаті підстановки її в рівняння воно перетворюється в тотожність.

Приклад 1.1 Знайти функцію , яка є розв’язком диференціального рівняння .

Помножимо обидві частини рівняння на і проінтегруємо:

Знову домножимо обидві частини рівняння на та проінтегруємо:

У результаті отримаємо

Перевіркою легко встановити, що знайдена функція задовольняє задане рівняння, отже, є його розв’язком.

Як бачимо, функція залежить від двох довільних функцій та У цьому є відмінність розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними порівняно зі звичайними, де розв’язок залежить від довільних сталих. Дана функція є загальним розв’язком диференціального рівняння з частинними похідними.

Означення 1.3 Диференціальне рівняння з частинними похідними називається лінійним, якщо функція і всі її частин-ні похідні входять в рівняння лінійно.

Зазначимо, що саме такими рівняннями моделюються фізичні процеси, які ми далі будемо вивчати. Усі вони належать до одного з трьох типів: до гіперболічного типу, який моделює коливальні процеси; еліптичного типу, який моделює стаціонарні процеси; параболічного типу, який моделює процеси теплопровідності та дифузії.

1.2 Зведення до канонічного виду рівняння другого порядку

Розглянемо диференціальне рівняння з частинними похідними, яке є лінійним відносно похідних другого поряд-ку:

(1.1)

де A, B, C – сталі (можуть бути і функціями, визначеними в деякій області D площини xOy з неперервними похідними до другого порядку включно), F – неперервна функція.

Поставимо задачу: за допомогою незалежних змінних x і y звести рівняння (1.1) до найпростішого (канонічного) виду. Введемо нові змінні

(1.2)

Нехай функції і – двічі неперервно-диференційовані і якобіан

в області G.

Виразимо похідні через нові змінні:

, ;

Підставляємо ці похідні в (1.1), отримаємо:

(1.3)

де

Явний вираз нас не цікавить. Спробуємо вибрати функції і так, щоб деякі із коефіцієнтів , , обнулялись. Очевидно, щоб вирішити питання про обнулення коефіцієнтів та , достатньо розв'язати еквіва-лентне питання про розв'язок наступного диференціального рівняння першого порядку відносно деякої функції z(x, y), яку будемо називати характеристичною функцією:

(1.4)

Поділивши (1.4) на отримаємо квадратне рівняння відносно

яке фактично розпадається на два:

(1.5)

(1.6)

Криву z(x, y) = const , що є розв’язком рівняння (1.4) будемо називати характеристичною кривою, а напрям

{dx, dy} − характеристичним напрямком.

З умови z(x, y)= const випливає, що

z'_x dx+ z'_y dy = 0.

Звідси маємо дуже простий зв'язок з похідними функції z(x, y)

Проводячи відповідну заміну в (1.5) і (1.6) отримаємо :

(1.7)

(1.8)

Розв'язки рівнянь (1.5) і (1.6) пов'язані з розв'язком рівнянь (1.7) і (1.8) наступним чином. Нехай

, (1.9)

− загальні інтеграли рівнянь (1.7) і (1.8).

Тоді функції і будуть розв'язком рівнянь (1.5) і (1.6) відповідно, а значить і розв'язками рівняння (1.4). Криві (1.9) називаються характеристиками рівняння (1.1), а рівняння (1.7) і (1.8) − рівняннями характеристики. Зазначимо, що рівняння (1.7) і (1.8) у загальнішій формі можна предста-вити у вигляді одного рівняння характеристики:

А(dy)²−2Bdxdy+C(dx)²=0. (1.10)

Очевидно, що поведінка інтегралів (1.7) і (1.8), а значить канонічний вид рівняння (1.1), залежить від знаку дискримінанта D=В²−АС, або знаку визначника

У залежності від цього розглянемо три випадки:

1) Нехай ∆ < 0 (D = В²−АС >0) − рівняння гіперболічного типу.

У цьому випадку загальні інтеграли (1.9) визначають дві дійсних і різних сім'ї характеристик. Оскільки функції φ(x, y) і ψ(x, y) задовольняють рівняння (1.4), то, поклавши в (1.2)

, , (1.11)

отримаємо (так як знак дискримінанта не змінюється при заміні змінних).

Розділивши рівняння (1.3) почленно на 2В, одержимо канонічний вид рівняння гіперболічного типу:

2) Нехай ∆=0 (D=В²−АС=0) – рівняння параболічного типу.

У цьому випадку загальні інтеграли (1.9) дійсні і співпа-дають. Таким чином, є тільки одна сім'я характеристик. Рівняння (1.5) і (1.6) також співпадають і набувають вигляду

Це рівняння має один розв'язок , а значить

Врахувавши це, маємо ξ= φ(x, y), а за η(x, y), візьмемо будь-яку двічі неперервнодиференційовну функцію, для якої якобіан

Тоді . Враховуючи, що D = 0 ( а це означає що і ), отримаємо, що , а коефіцієнт набуває виду

Поділивши рівняння (1.3) на дістанемо канонічне рівняння параболічного типу:

3) Нехай ∆>0 (D=В²−АС <0) − рівняння еліптичного типу.

Тут загальні інтеграли (1.9) є комплексними величинами. Тобто рівняння еліптичного типу не мають дійних характеристик. Нехай φ(x, y)≡ φ₁(x, y)+ іφ₂(x, y)= С₁ − один із загальних інтегралів (1.9); другий загальний інтеграл буде комплексно спряженим з даним.

Покладемо в (1.2):

ξ= φ₁(x, y) , η=φ₂(x, y).

Підставляючи в рівняння (1.4) його розв'язок φ=ξ+іη, отримаємо

Відокремлюючи у цій тотожності дійсну та уявну частини, одержимо:

Звідси випливає, що . Очевидно, що . Тоді отримаємо рівняння еліптичного виду:

Приклад 1.2 Знайти загальний розв’язок рівняння, звівши його до канонічного виду

.

Тут . Отже, задане рівняння гіперболічного типу.

Запишемо рівняння характеристик

.

Поділивши на , отримаємо

.

Знайдемо .

Розв’яжемо ці рівняння.

,

.

Введемо заміну змінних

або

Знайдемо всі частинні похідні, що входять у задане рівняння, виразивши їх через :

Підставивши у задане рівняння, отримає-мо

.

Після спрощень одержуємо .

Інтегруємо по змінній (можна по ). Тоді , де – довільна функція змінної .

Інтегруємо обидві частини по

де і – довільні функції. Повертаючись до змінних отримаємо Це і буде загальним розв’язком заданого рівняння.