1.4 Определение зависимости

1) Составляем таблицу в MSExcel, исходя из заданного графика (приложение 1), занесем экспериментальные данные из зад в ячейки (А = Х, В = Y);

2) Построим точечный график по диапазону А1 – В10. Выделим точки графика и нажмем правую кнопку мыши (ПКМ) и выберем «добавить линию тренда», в свойствах этой линии укажем:

- Выберем параметр линии;

- Установим флажок «показать уравнение на диаграмме» и величину достоверности аппроксимации (R^2);

На диаграмме, изображенной на рисунке 1.1, мы можем видеть уравнение линии:

у = – 0,0009х³ + 0,0611х² – 1,2721х + 18,929 (1.8)

при R² = 0,9099

3) По приведенному выше алгоритму выполним регрессионный анализ для нелинейных моделей, в частности, построим полиномиальную модель 2-го порядка, последовательно увеличивая порядок уравнения до 6:

- Выбираем «линию тренда» - ПКМ – Формат линии тренда – Полиномиальная линия.

4) Обычно для оценки величин парной регрессии достаточно трендов полиномиальной линии 2 или 3 (т.е. чтобы R²> 0,85). В нашем случае R² = 0, 9099, что удовлетворяет условию;

Рисунок 1.1 - Точечный график уравнения регрессии

5) Проанализируем полученные данные и определимся с типом адекватной модели. На основе найденных коэффициентов уравнения регрессии (формула 1.8) установим теоретическое значение наблюдаемой величины “y”. Например, в ячейке С1 вводим формулу 1.8, полученную ранее в качестве модели из графика;

6) Вычислим ошибку модели в ячейке D1 по формуле:

D1 = B1 – C1 (1.9)

7) Для проверки модели на адекватность построим гистограмму распределения ее остатков:

- Составим диапазон изменения остатков;

- Определим минимальный и максимальный из остатков;

- Диапазон от максимального до минимального разбиваем на несколько равных поддиапазонов, точнее от 6 до 20. В нашем случае получилось 6 ( ). Весь диапазон показан на рисунке 1.1;

- Рассчитаем число попаданий ошибки остатков в каждый диапазон;

- Все границы интервалов запишем в отдельную строку (рисунок 1.1);

8) Строим гистограмму распределения ее остатков (рисунок 1.2):

Рисунок 1.2 - Гистограмма распределения остатков регрессионной модели

По гистограмме видно, что выбранная модель хорошо описывает истинную зависимость, т.е. остатки являются независимыми, нормально распределенными величинами. Большинство остатков формируется, не отклоняясь от среднего значения, хотя отклонение от нормы все же имеется. Так же коэффициент корреляции удовлетворяют условию R² = 0,9099 > 0,85. Все эти выводы показывают, что данная модель является адекватной [2, 3].

2 Идентификация математических моделей

Идентификацией объектов называется построение оптимальных математических моделей по реализации их входных и выходных параметров. Структурная схема процесса идентификации показана на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Структурная схема процесса идентификации

Задача идентификации заключается в количественной оценке степени идентичности модели реальному объекту. Оценка делается на основе истинной характеристики объекта F_О, представленной его выходными параметрами Y_О и оценкой F_m этой характеристики, описываемой выходными переменными Y_m, математической модели, зависящей от входных данных x. Критерием идентичности модели является минимум ее ошибки q, вычисляемой по формуле 2.1.

(2.1)

Идентификация может быть адаптивной (подстраиваемой) и неадаптивной. При неадаптивной идентификации выбирают или рассчитывают коэффициенты модели, и в дальнейшем они не изменяются. Основным свойством адаптивной идентификации является то, что коэффициенты математической модели изменяются или подстраиваются.

В зависимости от априорной (исходной) информации об объекте различают структурную и параметрическую идентификации.

Предметом структурной идентификации является определение вида функции Y_теор, связывающей входные переменные x. Структурная идентификация включает себя: постановку задачи; выбор структуры модели и ее математическое ожидание; исследование модели. На этапе параметрической идентификации выполняется проверка модели.

Существующие представления об объекте и его выходные параметры отражаются в виде функции с неизвестными коэффициентами B=(b₁, b₂,…,b_n). Задача идентификации ставится как задача оптимизации.

, (2.2)

где Q – мера расхождения между выходными параметрами объекта и выходными переменными выбираемой модели (суммарная невязка) [1].