2. Графи мереж Петрі

У значній мірі теоретична робота з мережами Петрі заснована на формальному визначенні мереж Петрі, викладеному вище. Проте, для ілюстрації понять теорії мереж Петрі набагато більш зручним є графічне подання мережі Петрі. Теоретико-графовим поданням мережі Петрі є двочастковий орієнтований мультиграф.

Структура мережі Петрі являє собою сукупність позицій і переходів. Відповідно до цього граф мережі Петрі володіє двома типами вузлів. Кружок О є позицією, а планка | — переходом.

Орієнтовані дуги (стрілки) з'єднують позиції і переходи, при цьому деякі дуги спрямовані від позицій до переходів, а інші — від переходів до позицій. Дуга, спрямована від позиції p_i до переходу t_j, визначає позицію, що є входом переходу. Кратні входи в перехід указуються кратними дугами із вхідних позицій у перехід. Вихідна позиція вказується дугою від переходу до позиції. Кратні виходи також представлені кратними дугами.

Мережа Петрі є мультиграф, тому що він припускає існування кратних дуг від однієї вершини графа до іншої. Варто додати, що тому що дуги є спрямованими, те це орієнтований мультиграф. Ми знаємо, що вершини графа можна розділити на дві множини (позиції і переходи) таким чином, що кожна дуга буде спрямована від елемента однієї множини (позицій або переходів) до елемента іншої множини (переходів або позицій); отже, такий граф є двочастковим орієнтованим мультиграфом. Надалі для простоти будемо називати його просто графом мережі Пртри.

Визначення 3. Граф G мережі Петрі є двочастковий орієнтований мультиграф, G = (V, А), де V= {й₁, u₂, …, u_s} — множина вершин, а А = {а₁, а₂, ..., а_r} — комплект спрямованих дуг, а_i = (v_j, v_k), де v_j, v_k V. Множина V може бути розбите на дві непересічні підмножини Р и Т, таких, що V = Р U Т, Р Т = , і для будь-якої спрямованої дуги a_t А, якщо a_t = (v_j, v_k), тоді або v_j Р и v_k T, або v_j Т, a v_k Р.

Графи мережі Петрі, зображені на рис. 4 - 6, еквівалентні структурам мережі Петрі на рис. 1 - 3.

Для демонстрації еквівалентності цих двох подань мережі Петрі — структури мережі Петрі і графа мережі Петрі — покажемо, яким чином можна перетворити один в іншій. Припустимо, нам дана структура мережі Петрі З = (Р, Т, I, О) з Р = = {p₁, p₂, …, p_n} і Т = {t₁, t₂, ..., t_m). Тоді граф мережі Петрі можна визначити в такий спосіб.

Визначення 4. Визначимо V = P T. Визначимо А як комплект спрямованих дуг, такий, що для всіх p_i P і t_j Т

# ((p_i, t_j), A) = # (р_i, I (t_j)),

#((t_j, p_i), A) = #(p_i, 0(t_j)).

G = (V, А) є граф мережі Петрі, еквівалентний структурі мережі Петрі З = (Р, Т, I, О).

Зворотне перетворення (від графа мережі Петрі до структури) здійснюється подібним чином. Однак при переході від графа мережі Петрі до структури мережі Петрі виникає одна цікава задача: якщо множину вершин можна розділити на дві підмножини S і R, то яка із цих підмножин повинна бути позиціями, а яка — переходами? Обоє можливих варіанта дозволяють визначити мережу Петрі, хоча в структурах, що виходять в результаті, позиції і переходи міняються місцями.

Рис. 4. Граф мережі Петрі, еквівалентний структурі, показаної на рис. 1

Рис 5. Граф мережі Петрі, еквівалентний структурі, зображеної на рис. 2

Рис. 6. Граф мережі Петрі, еквівалентний структурі, показаної на рис. 3

Рис. 7. Мережа, двоїста до мережі Петрі, показаної на рис. 4

Двоїстої до мережі Петрі З = (Р, Т, I, О) є мережа Петрі З = (Т, Р, I, О), що виходить у результаті перестановки позицій і переходів. Структура графа зберігається, просто міняються місцями кружки і планки (див. вправу 6). На рис. 7 показана мережа, двоїста до мережі Петрі на рис. 4. Подвійність — звичайно корисний прийом у теорії графів і здається цікавим поняттям для мереж Петрі. Однак ніякої користі витягти з поняття двоїстої мережі Петрі в дослідженні цих мереж не представляється можливим. Це порозумівається в основному труднощами визначення мережі, двоїстої до маркірованої мережі Петрі. Маркіровані мережі Петрі ми обговоримо пізніше.

Вправи

1. Побудуйте графи мереж Петрі, двоїсті до мереж Петрі, показаним на рис. 5 і 6.

2. Побудуйте граф мережі Петрі для наступної структури мережі Петрі:

P = {p₁, p₂, p₃, p₄},

T={t₁, t₂, t₃, t₄, t₅},

I(t₁) = { }, O(t₁) = {p₁},

I(t₂) = {p₁}, O(t₂) = {p₂},

I(t₃) = {p₂, p₄}, O(t₃) = {p₁, p₃},

I(t₄) = { }, O(t₄) = {p₃},

I(t₅) = {p₃}, O(t₅) = {p₄}.

3. Зобразите граф мережі Петрі наступної структури:

P = {p₁, p₂},

T={t₁, t₂, t₃},

I(t₁) = {p₁ }, O(t₁) = {p₁, p₂},

I(t₂) = {p₁}, O(t₂) = {p₂},

I(t₃) = {p₂}, O(t₃) = { }.

4. Покажіть, що двоїста до двоїстої мережі Петрі С є сама мережа С.

5. Визначите клас мереж Петрі, які збігаються із двоїстими до себе. Чи можете ви дати просту характеризацію цього класу мереж Петрі?

6. Якщо мережа, двоїста до мережі Петрі С = (Р, Т, I, О), визначена як = (Т, Р, I, О), вхідні і вихідні функції повинні бути розширені для відображення і P, і Т. Чому? Якщо С = (Р, Т, 1, О) має нерозширені вхідні і вихідні функції, дайте визначення = (T, Р, I', 0') з нерозширеними вхідними і вихідними функціями.

7. Знайдіть структуру мережі Петрі, що відповідає графу мережі Петрі на рис. 8. Визначите структуру мережі Петрі для графа на рис. 9.

8. Графи мережі Петрі є мультиграфами, тому що позиція може бути кратним входом або виходом переходу. У графі це показується декількома дугами між позицією і переходом. У той час як такий спосіб задовільний для дуг з малою кратністю (не більше трьох), він незручний для дуг дуже великої кратності. Таким чином, як альтернативне подання структур з великою кратністю використовується пучок дуг. Пучок — це спеціальна дуга, що рисується жирною лінією і позначається кратністю.

Рис. 10 ілюструє перехід із вхідною кратністю 7 і вихідною кратністю 11. Намалюйте граф мережі Петрі для наступної структури:

P = {p₁, p₂, p₃, p₄},

T={t₁, t₂, t₃, t₄},

I(t₁) = { }, O(t₁) = {p₁, p₁, p₁, p₁, p₂},

I(t₂) = {p₂}, O(t₂) = {p₁, p₁, p₁, p₁, p₁, p₁, p₃},

I(t₃) = {p₁, p₁, p₁, p₁, p₁, p₁}, O(t₃) = {p₂, p₂, p₂, p₂, p₄, p₄},

I(t₄) = { p₃, p₄, p₄, p₂}, O(t₄) = { }.

Рис. 8. Граф мережі Петрі Рис. 9. Граф мережі Петрі

Рис. 10. Пучок дуг. Для графів з великою кратністю використається пучок дуг, позначений числом кратності, а не зображення всіх кратних дуг

9. Інверсна мережа Петрі — С_інв для мережі Петрі С = (Р, T, I, 0) визначається перестановкою вхідної і вихідної функцій — С = (Р, Т, О, I). Як це вплине на граф мережі Петрі? У чому відмінність від двоїстої мережі Петрі? Чи зробить вплив розширення вхідної і вихідної функцій? Зобразіть інверсну мережу Петрі для мережі Петрі, наведеної на рис. 7.