ВСТУП

1. Структура мережі Петрі

Мережа Петрі складається із чотирьох елементів: множина позицій P, множина переходів T, вхідна функція I і вихідна функція O. Вхідна і вихідна функції пов'язані з переходами і позиціями. Вхідна функція I відображає перехід t_j у множину позицій I(t_j), що називаються вхідними позиціями переходу. Вихідна функція O відображає перехід t_j у множину позицій O(t_j), що називаються вихідними позиціями переходу.

Структура мережі Петрі визначається її позиціями, переходами, вхідною і вихідною функціями.

Визначення 1. Мережа Петрі C є четвіркою, C=(P, T, I, O). P={p₁, p₂, .., p_n} — кінцева множина позицій, n > 0. T={t₁, t₂, …, t_m} — кінцева множина переходів, m > 0. Множина позицій і множина переходів не перетинаються, P∩T = 0. I:T→P^∞ є вхідною функцією — відображенням з переходів у комплекти позицій. O:T→P^∞ є вихідна функція — відображення з переходів у комплекти позицій.

Потужність множини Р є число n, а потужність множини Т є число m. Довільний елемент Р позначається символом p_i, i=1, ..., n, а довільний елемент Т — символом t_j, j=1,..., т.

Приклади мереж Петрі дані на рис. 1-3.

Позиція p_i є вхідною позицією переходу t_j у тому випадку, якщо p_i I (tj); p_i є вихідною позицією, якщо p_t О(tj). Входи і виходи переходів являють собою комплекти позицій. Комплект є узагальненням множини, у яке включені багаторазово повторювані елементи — тиражовані елементи. Використання комплектів, а не множин для входів і виходів переходу дозволяє позиції бути кратним входом або кратним виходом переходу. Кратність вхідної позиції p_t для переходу t_j є число появ позиції у вхідному комплекті переходу, # ( p_i, I (tj)). Аналогічно кратність вихідної позиції p_t для переходу t_j є число появ позиції у вихідному комплекті переходу, #(р₄, О (tj)). Якщо вхідна і вихідна функції є множинами (а не комплектами), то кратність кожної позиції є або 0, або 1.

Вхідні і вихідні функції використовуються для відображення позицій у комплекти переходів, а також їх можна використати для відображення переходів у комплекти позицій. Визначимо, що перехід t_j є входом позиції р_i якщо р_i є вихід t_j. Перехід t_j є вихід позиції р_i якщо p_i є вхід t_j.

Визначення 2. Визначимо розширену вхідну функцію I і вихідну функцію

I : Р Т°°, О: Р Т°° таким чином, що

# (t_j, I(p_i)) = # (P_i, 0 (t_j)), # (tj, О (p_t)) = # (p_it I (tj)).

Для мережі Петрі на рис. 1 розширеними вхідною і вихідною функціями є:

I(p₁) = { }, O(p₁) = {t₁ },

I(p₂) = {t₁, t₄ }, O(p₂) = {t₂ },

I(p₃) = {t₁, t₄ }, O(p₃) = {t₂,t₃},

I(p₄) = {t₃ }, O(p₄)={t₄},

I(p₅) = {t₁, t₂ }, O(p₅) = {t₂).

C=(P, T, I, O),

P={p₁, p₂, p₃, p₄, p₅},

T={t₁, t₂, t₃, t₄},

I(t₁) = {p₁}, O(t₁) = {p₂, p₃, p₅},

I(t₂) = {p₂, p₃, p₅ }, O(t₂) = {p₅},

I(t₃) = {p₃}, O(t₃) = {p₄},

I(t₄) = {p₄}, O(t₄) = {p₂, p₃}.

Рис. 1. Структура мережі Петрі представлена у вигляді четвірки, що складається із множини позицій (Р), множини переходів (T), вхідної функції I : T P°° і вихідної функції (O : T P°°)

З=(Р, Т, I, О),

P = {p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆},

T={t₁, t₂, t₃, t₄, t₅},

I(t₁) = {p₁}, O(t₁) = {p₂, p₃},

I(t₂) = {p₃}, O(t₂) = {p₃, p₅, p₅},

I(t₃) = {p₂, p₃}, O(t₃) = {p₂, p₄},

I(t₄) = {p₄, p₅, p₅, p₅}, O(t₄) = {p₄},

I(t₅) = {p₂}, O(t₅) = {p₆}.

Рис. 2. Структура мережі Петрі

З=(Р, Т, I, О),

P = {p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆, p₇, p₈, p₉},

T={t₁, t₂, t₃, t₄, t₅, t₆},

I(t₁) = {p₁}, O(t₁) = {p₂, p₃},

I(t₂) = {p₈}, O(t₂) = {p₁, p₇},

I(t₃) = {p₂, p₅}, O(t₃) = {p₆},

I(t₄) = {p₃}, O(t₄) = {p₄},

I(t₅) = {p₆, p₇}, O(t₅) = {p₉},

I(t₆) = {p₄, p₉}, O(t₆) = {p₅, p₈}.

Рис. 3. Структура мережі Петрі

Вправи.

1. Знайдіть розширену вхідну і вихідну функції мереж Петрі (рис. 2 і 3).

2. Покажіть, що вхідна і вихідна функції одночасно не є необхідними і що мережа Петрі може бути визначена множинами позицій, переходів і розширеною вхідний (або вихідний) функцією. Для цього покажіть, як розширена вихідна функція може бути визначена з розширеної вхідної функції і навпаки.