Середні помилки при простому випадковому і механічному відборі
Схема відбору |
Параметр, що оцінюється |
||
Середня (n>30) |
Середня
( |
Частка p |
|
Повторна |
|
|
|
Безповторна |
|
|
|
)
Позначення:
– вибіркове середнє квадратичне
відхилення;
– виправлене середнє квадратичне
відхилення;
– вибіркова частка варіант, що
задовольняють задану умову; k
– число варіант, що задовольняють задану
умову; N
– обсяг генеральної сукупності, n
– обсяг вибірки.
Отже, надійні (або довірчі) інтервали для генеральних середньої та частки р мають такий вигляд:
,
де
,
,
де
.
Приклад 5.1. У результаті 10 %-го вибіркового спостереження торговельних підприємств регіону, проведеного за допомогою простого випадкового безповторного відбору, отримано такі результати про розмір товарообігу за місяць на 100 підприємствах (млн. грн.):
20,0; 24,1; 15,1; 25,0; 22,3; 26,3; 16,2; 23,2; 24,5; 10,2; 36,1; 21,6; 27,8; 16,6; 7,8; 24,7; 35,0; 29,7; 17,3; 23,8; 26,3; 31,3; 20,7; 28,8; 31,5; 22,5; 16,8; 6,7; 23,1; 27,4; 12,5; 24,4; 26,2; 17,9; 33,5; 20,8; 25,2; 20,7; 17,7; 21,0; 26,7; 18,8; 22,9; 34,0; 27,5; 30,2; 23,4; 13,7; 11,4; 20,5; 24,2; 28,1; 18,4; 19,5; 24,6; 27,0; 37,6; 23,8; 28,9; 32,4; 22,3; 15,5; 28,5; 18,4; 21,5; 26,8; 9,2; 15,9; 20,1; 27,4; 24,3; 14,1; 20,6; 39,8; 19,1; 29,1; 21,7; 28,7; 14,8; 22,3; 30,6; 24,1; 29,6; 23,6; 29,3; 25,6; 19,0; 24,0; 25,4; 34,8; 20,3; 5,1; 21,0; 33,9; 24,7; 19,5; 22,8; 25,4; 32,5; 24,0.
З імовірністю γ = 95 % визначити по регіону в цілому:
а) межі середнього товарообігу підприємств регіону;
б) межі частки торговельних підприємств, які мають товарообіг менший, ніж середній товарообіг підприємств регіону.
Розв’язання.
а)
Для визначення середньої помилки
інтервальної оцінки генеральної
середньої
обчислимо вибіркові середній товарообіг
і середнє квадратичне відхилення
:
,
,
.
Оскільки
у вибірку обсягом п=100
відібрано 10 % елементів генеральної
сукупності, то обсяг останньої:
.
Тоді шукана середня помилка становить:
(млн.
грн.).
Оскільки
обсяг вибірки п=100>30,
то коефіцієнт довіри знаходимо за
таблицями функції Ф(t)
із умови Ф(tγ) = 
:
=1,96.
Тоді гранична помилка з імовірністю
0,95 становить:
(млн.
грн.).
Отже, маємо такий довірчий інтервал для середнього товарообігу підприємств регіону:
,
або
.
Таким чином, на підставі проведеного вибіркового спостереження з імовірністю 0,95 можна стверджувати, що середній товарообіг підприємств регіону знаходиться в межах від 22,058 до 24,566 млн. грн.
б)
Для знаходження надійного інтервалу
для частки підприємств, які мають
товарообіг менший, ніж середній товарообіг
підприємств регіону
,
обчислимо вибіркову частку w
підприємств, які мають товарообіг менший
за
млн.
грн. за формулою:
,
де k
– число варіант, менших за
,
n=100
– обсяг вибірки. Зі 100 досліджених
підприємств 47 торговельних підприємства
мають товарообіг менший 23,312 млн. грн.,
тобто
.
Тоді
і середня
помилка оцінки генеральної частки p
становить:
Тоді відповідна гранична помилка із заданою ймовірністю 0,95 дорівнює:
.
Отже, маємо надійний інтервал для оцінки генеральної частки p торговельних підприємств регіону з товарообігом меншим ніж середній товарообіг підприємств регіону:
,
або
.
Таким чином, на підставі проведеного вибіркового спостереження з імовірністю 0,95 можна стверджувати, що частка p торговельних підприємств регіону, які мають товарообіг менший за середній товарообіг підприємств регіону, знаходиться в межах від 38 до 56 %.
При типовому відборі середня помилка вибірки обчислюється за такими формулами:
Таблиця 5.2