[2 Ведущий]

Понятие "фрактал"

Дать определение фракталу означает найти его инвариантные свойства. Было найдено два таких свойства:

• дробная размерность

• самоподобие. 

Фрактальная размерность

Перед фрактальной поговорим о топологической размерности – числе измерений, с помощью которых можно однозначно задать положение точки на геометрическом объекте. Как мы измеряем длину, площадь, объем? Мы говорим, "дорога, длиной в 1 км", "комната площадью 20 м²", "ведро объемом 10 дм³". Топологическая размерность является целым числом. […]

[1 Ведущий]

Мандельброт дал следующее определение фрактала:

"Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа которого строго больше его топологической размерности. Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Самоподобие

Самоподобие означает, что объект может быть построен на основе любой своей части.

Типы фракталов.

Фракталы делятся на группы.

• геометрические

• алгебраические

• и стохастические фракталы

Наша работа в основном опирается на геометрические фракталы, так как они являются самыми наглядными. Именно с них начинается история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений.

Классические примеры геометрических фракталов – раннее рассмотренная нами кривая Пеано, а так же Кривая Коха и Треугольник Серпинского).

Алгоритм построения геометрических фракталов

Принцип построения геометрических фракталов состоит в следующем:

• задается начальное условие (нулевое поколение): фигура, на основании которой строится фрактал;

• задается процедура, которая преобразует определенным образом нулевое поколение (генератор);

• в результате бесконечного повторения заданной процедуры, получается геометрический фрактал.

[2 Ведущий]

Примеры геометрических фракталов:

1. Триадная кривая Кох

Кривая была открыта Гельге фон Кох в 1904 году.

Алгоритм построения фрактала:

Задаем начальные условия: берем отрезок единичной длины: это нулевое поколение кривой Кох. 

Задаем генератор: это ломаная кривая, состоящая из четырех элементарных отрезков длины r = 1/3. 

Получим первое поколение: отрезок единичной длины делим на три части. Среднюю часть отбрасываем и заменяем на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. Поскольку на каждом шаге отрезок разбивается на три части, множество называется триадной кривой Кох.

Получим второе поколение: каждое из четырех звеньев делим на три части, среднюю часть выбрасываем и заменяем на генератор.

Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Вам были представлены четыре поколений кривой.

Легко видеть, что размерность Хаусдорфа данного фрактального образования определяется соотношением:  (  - число элементов, - относительный размер элементов).

[1 Ведущий]

2. Снежинка Кох

Снежинка Коха, отличающейся от кривой его же имени лишь тем, что строится на основе равностороннего треугольника, в результате чего получается бесконечная прямая, покрывающая ограниченную плоскость.

Результаты показали, что снежинка Кох самоподобна, имеет дробную размерность, большую ее топологической размерности. Таким образом, при бесконечном повторении генератора снежинка Кох становится фрактальным объектом. Площадь снежинки стремится к 8/5 от площади исходного треугольника.