2.6. Метод еквівалентного генератора.

На практиці часто буває необхідним знайти величину струму тільки в одній з віток складного кола. В таких випадках найбільш ефективним є метод еквівалентного генератора.

Суть методу полягає в тому, що будь-яке складне коло уявляється еквівалентною схемою у вигляді активного двополюсника – одна ЕРС Е і один резистор з опором R. Параметри цього активного двополюсника Е і R визначаються в режимі холостого ходу, тобто при відключенні від клем реального кола вітки, в якій необхідно знайти струм. ЕРС Е активного двополюсника дорівнює напрузі холостого ходу на клемах реального кола, до яких має бути під’єднаною вітка, а значення внутрішнього опору R дорівнює опору кола між цими клемами при умові, що всі ЕРС в реальному колі дорівнюють нулю.

Оскільки активний двополюсник по суті є джерелом ЕРС, тобто генератором, то звідси і витікає відповідна назва методу.

На малюнку показане складне електричне активне (тобто містить джерела електроенергії) коло з винесеною віткою ab, в якій визначається струм, і поруч її еквівалентна схема.

Струм у вітці ab – І_н = Е /(R + R_н).

Напруга U_хх = Е еквівалентної схеми генератора визначається розрахунком кола при відключеному навантаженні R_н будь-яким з відомих методів розрахунку складних кіл або експериментально.

Опір R схеми визначається методом еквівалентних перетворень схеми до загального опору відносно клем a, b при відключеному навантаженні і закорочених внутрішніх ЕРС.

Приклади виконання розрахункових завдань

Приклад 1. Розрахунок простого розгалуженого кола постійного струму. Розглянемо наведену схему.

В ихідні дані:

U = 240 В; R₁ = 10 Ом; R₂ = 20 Ом; R₃ = 60 Ом; R₄ = 9 Ом; R₅ = 30 Ом; R₆ = 4 Ом; R₇ = 2 Ом.

Знайти розподіл струмів в схемі.

Розрахунок:

Визначаємо еквівалентний опір між точками АВ:

Складаємо послідовно з’єднані опори R_AB та R₄ і отримаємо R' :

R' = R_AB + R₄ = 6 + 9 = 15 Ом.

Опір R' в свою чергу виявляється з’єднаним паралельно з опором R₅. Їх загальний опір:

Загальний опір кола:

R = R₆ + R_CD + R₇ = 4 + 10 + 2 = 16 Ом.

Загальний струм:

I = U / R = 240 / 16 = 15 А.

Напруга між точками С і D:

U_CD = I·R_CD = 15·10 = 150 В.

Струми в опорах R' і R₅:

I₄ = U_CD / R' = 150 / 15 = 10 A;

I₅ = U_CD / R₅ = 150 / 30 = 10 A.

Напруга між точками А і В:

U_AB = I₄·R_AB = 10·6 = 60 В.

Струми в опорах R₁, R₂, R₃:

I₁ = U_AB / R₁ = 60 / 10 = 6 A;

I₂ = U_AB / R₂ = 60 / 20 = 3 A;

I₃ = U_AB / R₃ = 60 / 60 = 1 A.

Перевірку результатів розрахунку здійснимо через баланс потужностей:

UI = Σ_i=1..7 I_i²R.

UI = 240·15 = 3600 Ватт;

Σ _i=1..7 I_i²R = I₁² R₁ + I₂² R₂ + I₃² R₃ + I₄² R₄ + I₅² R₅ + I² R₆ + I² R₇ = 6²·10 + 3²·20 + 1²·60 + 10²·9 + 5²·30 + 15²·4 + 15²·2 = 3600 Ватт.

Отже, яка потужність постачається в коло, така ж потужність споживається елементами кола.

Приклад 2. Визначити струм в перемичці ВС наведеної схеми. Схема відома під назвою міст Уітстона.

Вихідні дані:

Е = 32 В; R₀ = 1 Ом; R₁ = 10 Ом; R₂ = 15 Oм; R₃ = 25 Oм; R₄ = 12,5 Ом; R₅ = 25 Oм.

Розрахунок: Замінимо трикутник опорів R₁, R₂, R₃ еквівалентною зіркою з променями:

Загальний опір кола:

Струм в нерозгалуженій частині кола:

Струми в паралельних вітках (R_B + R₅) – I_R5 і (R_C + R₄) – I_R4:

Ця формула походить з пропорції (струми в паралельних вітках розподіляються зворотно пропорційно опорам віток)⁴.

Отже , а I_R4 = I – I_R5 = 2 – 0,8 = 1,2 A.

Із рівняння, складеного за другим законом Кірхгофа для контуру BDCB – I_BCR₃ + I_R5R₅ – I_R4R₄ = 0, маємо:

П риклад 3. Безпосереднє застосування законів Кірхгофа.

Визначити розподіл струмів в схемі:

Вихідні дані:

Е₁ = 72 В; Е₂ = 48 В; R₁ = 3 Ом; R₂ = 4 Ом; R₃ = 6 Ом; R₄ = 10 Ом; R₅ = 15 Ом.

Попередньо спрощуємо схему і знайдемо еквівалентний опір, який замінює опори R₃, R₄, R₅:

Отримаємо спрощену схему, на якій довільно відмічаємо позитивні напрямки невідомих струмів І₁, І₂, І₃.

Схема має два вузли А і В та два контури. Застосовуючи до вузла А і до двох контурів закони Кірхгофа складаємо три рівняння.

Розв’язуємо систему рівнянь:

І₃ = І₁ + І₂ = 6 – 1,5 = 4,5 А.

Отже, І₁ = 6 А; І₂ = –1,5 А; І₃ = 4,5 А.

Отриманий від’ємний знак у величині струму І₂ = –1,5 А означає, що в дійсності цей струм направлений в бік, протилежний напрямку стрілки, що позначає на схемі струм І₂.

Струм І₃ розподіляється між паралельними вітками R₄ i R₅ зворотно пропорційно їх опорам:

або , звідки:

І₄ = І₃ – І₅ = 4,5 – 1,8 = 2,7 А.

Приклад застосування методу контурних струмів наводиться в розділі теоретичного матеріалу до розрахункових завдань (п. 2.5).

Приклад 4. Застосування методу вузлових потенціалів.

Розглянемо розрахунок електричного кола за цим методом на прикладі такої схеми:

Довільно пронумеруємо вузли схеми, починаючи з нуля. Потенціал у вузлі № 0 приймаємо рівним нулю. Використовуючи наведену в теоретичному розділі формулу, складаємо рівняння для інших вузлів:

для вузла № 1:

для вузла № 2:

для вузла № 3:

Після розв’язання системи рівнянь відносно невідомих U₁, U₂, U₃, тобто визначення їх значень, визначаємо струми у вітках. Для цього розглянемо кожну вітку окремо.

В ітка з вузлами 0 – 1.

Дія прикладеної до вузлів напруги U₁ рівноцінна дії включеної ЕРС Е = U₁. Для такого штучно утвореного, контуру складається рівняння за другим законом Кірхгофа IR₄ = U₁. 3 якого – І = U₁ / R₄.

Аналогічно для інших віток.

Вітка з вузлами 0 – 2:

IR₅= U₂  I = U₂ / R₅.

Вітка з вузлами 0 – 3:

IR₂ = E₂ + U₃  I = (E₂ + U₃) / R₂.

Вітка з вузлами 1 – 2:

IR₃ = –E₃ – E₁ – U₂ + U₁  I = (–E₃ – E₁ – U₂ + U₁) / R₃.

В ітка з вузлами 2 – 3:

IR₁ = –U₂ + U₃  I = (–U₂ + U₃) / R₁.

Вітка з вузлами 1 – 3:

IR₆ = –U₁ + U₃  I = (–U₁ + U₃) / R₆.

Робочий листок MathCAD визначення струмів для конкретних значень вихідних даних для наведеної схеми має вид:

Вихідні дані: R₁ := 10 R₂ := 20 R₃ := 50 R₄ := 8 R₅ := 40 R₆ := 25

E₁ := 12 E₂ := 24 E₃ := 12

Матриця коефіцієнтів розрахункової системи рівнянь:

Вектор правих частин:

Розв’язання системи рівнянь AU = B:

U := A^–1·B

Фактичні струми:

І_{0_1} = –0.211 І_{0_2} = –0.32 І_{0_3} = 0.53 І_{1_2} = –0.258 І_{2_3} = –0.062 І_{1_3} = –0.469

Перевірка:

Потужність, яка постачається в електричне коло:

|(E₁ + E₃)·I_{1_2}| + |E₂·I_{0_3}| = 18.915

Потужність, яка споживається в колі:

I_{2_3}²·R₁ + I_{0_3}²·R₂ + I_{1_2}²·R₃ + I_{0_1}²·R₄ + I_{0_2}²·R₅ + I_{1_3}²·R₆ = 18.915

Приклад 6. Застосування методу еквівалентного генератора.

Визначити струм у вітці ad зображеної схеми.

Вихідні дані:

E₁ = 12 В; E₂ = 20 В;

R₁ = 12 Ом; R₂ = 35 Ом; R₃ = 32 Ом; R₄ = 6 Ом; R₅ = 10 Ом; R₆ = 15 Ом;

Розрахунок (розрахунки виконуються в середовищі MathCAD):

Визначаємо напругу холостого ходу вітки ad – U_xx. Для цього виключаємо з схеми вітку з опором R₁. Використовуючи метод контурних струмів, складаємо рівняння для контурів abca та bdcb і визначимо контурні струми I_аbса та I_bdcb:

Звідки:

I_аbса = –0,389 А; I_bdcb = –0,299 А і, отже:

І₂ = –І_abca = –0,389 А; І₅ = –І_bdcb = –0,299 А.

З рівняння, складеного за другим законом Кірхгофа для контуру adca:

U_хх := E₂ + I₁·R₂ + I₂·R₅ U_хх = 3.394

В изначаємо R схеми. Для цього перетворюємо трикутник опорів R₂, R₄, R₆, що утворюють контур abс, в еквівалентну зірку з опорами R_a, R_b, R_c. При закорочених ЕРС Е₁ і Е₂ схема буде мати вид: