2.5. Метод контурних струмів.

П ри розрахунку складних кіл, що складаються з великої кількості вузлів, переважним є метод контурних струмів, який дозволяє скоротити загальну кількість рівнянь в системі.

Сутність методу розглянемо на схемі кола з вузлами А, В, С, D.

Ця схема включає три контури АВСА(І), ADBA(ІІ), CBDC(ІІІ). Кожному контуру умовно приписують довільно направлений контурний струм, однаковий для всіх ділянок цього контуру І_І, І_ІІ, І_ІІІ. У вітках, які є спільними для двох суміжних контурів, фактичний струм дорівнює алгебраїчній сумі двох контурних струмів.

Тут:

у вітці АВ протікає струм І₂ = І_ІІ – І_І,

у вітці ВС – струм І₅ = І_І – І_ІІІ,

у вітці DB – І₄ = І_ІІ – І_ІІІ.

Застосовуючи до кожного з контурів другий закон Кірхгофа, отримаємо систему з кількістю рівнянь, рівною кількості невідомих контурних струмів:

Отриману систему рівнянь доцільно переписати так, щоб шукані струми розташувались у відповідних стовпчиках:

Розв’язавши систему і визначивши контурні струми І_І, І_ІІ, І_ІІІ, неважко знайти струми у вітках схеми: I₁ = I_I, I₂ = I_II – I_I, I₃ = I_II, I₄ = I_II – I_III, I₅ = I_I – I_III, I₆ = I_III.

Зауважимо, що при безпосередньому використанні законів Кірхгофа для розрахунку цієї схеми необхідно було б розв’язати систему з шести рівнянь.

Робочий листок MathCAD визначення струмів при конкретних значень вихідних даних для наведеної схеми має вид:

ORIGIN := 1

Вихідні дані:

R₁ := 10 R₂ := 20 R₃ := 50 R₄ := 8 R₅ := 40 R₆ := 25 R₇ := 35 R₈ := 40

E₁ := 12 E₂ = 24 E₃ = 12 E₄ =15

Матриця коефіцієнтів розрахункової системи рівнянь:

Матриця правих частин:

Розв’язання системи рівнянь АІ=В:

Фактичні струми ³:

I₁ := I₁ I₂ := I₂ – I_I I₃ := I₂ I₄ := I₂ – I₃ I₅ := I₁ – I₃ I₆ := I₃

I₁ = –0.437 I₂ = 0.381 I₃ = –0.056 I₄ = –0.098 I₅ = –0.48 I₆ = 0.043

При складанні балансу потужностей якщо дійсний напрямок ЕРС і струму у вітці співпадають, то джерело ЕРС працює в режимі генератора і віддає потужність у коло. Якщо напрямки ЕРС і струму протилежні, то джерело ЕРС працює в режимі приймача електроенергії і споживає потужність.

Перевірка:

Потужність, що постачається в коло:

|E₁· I₅| + |E₂ · I₂| + |E₃ · I₄| = 16.086

Потужність, що споживається в колі:

I₁²·(R₁ + R₂) + I₂²·R₃ + I₃²·(R₅ + R₆) + I₄²·R₇ + I₅2·R₄ + I₆²·R₈ + E₄·I₆ = 16.086

2.5. Метод вузлових напруг.

Коли електричне коло складається з великої кількості контурів при невеликій кількості вузлів, її розрахунок і аналіз доцільно здійснювати методом вузлових напруг (інша назва – метод вузлових потенціалів).

Якщо кількість вузлів в схемі n, то кількість рівнянь, необхідних для розрахунку такого кола дорівнює (п – 1). Невідомими величинами в цих рівняннях є так звані вузлові напруги. У відповідності з цим методом потенціал в одному з вузлів схеми приймають рівним нулю. В інших вузлах схеми встановлюються потенціали, які відносно вузла з нульовим потенціалом будуть утворювати відповідно вузлові напруги U₁, U₂, ..., U_n–1.

Струм в кожній вітці схеми визначається напругами, прикладеними до вузлів вітки (вузловими напругами), ЕРС, якщо вітка їх містить і опором вітки.

Використовуючи вирази для струмів через вузлові напруги, ЕРС та опри, складають рівняння за першим законом Кірхгофа для кожного вузла схеми за виключенням вузла з нульовою напругою. Сукупність таких рівнянь утворює систему рівнянь відносно невідомих вузлових напруг.

При складанні рівняння для будь-якого і -го вузла можна скористатись вже готовою універсальною формулою:

за якою:

добуток вузлової напруги в і–тому вузлі на суму провідностей віток між і–тим і кожним з сусідніх з і–тим вузлами,

мінус сума добутків вузлових напруг в кожному сусідньому з і–тим вузлі на провідність вітки між цим вузлом і і–тим,

дорівнює сумі добутків ЕРС у вітці між і–тим і кожним сусіднім з і–тим вузлі (якщо вона є у цій вітці) на провідність цієї вітки.

Складові Е_ij беруться із знаком “+”, якщо ЕРС направлена до і–го вузла і із знаком “–”, якщо вона направлена від і–го вузла.

Розв’язавши систему відносно U_і, можна визначити струми у вітках.