5. Задача о справедливом финансировании

Рассмотрим игру трех рабочих , , . Пусть за одну смену может заработать ден.ед., – ден.ед., – ден.ед. Разрешено образование любой бригады из двух или трех человек. Пусть заработки бригад таковы: – , – , – , – ден.ед. Как должны действовать рабочие, чтобы получить наибольшие заработки и каковы размеры этих заработков?

Методические указания

1. Представить задачу в виде кооперативной игры трех игроков.

2. Найти характеристическую функцию игры. Проверить свойства характеристической функции.

3. Определить справедливый дележ по Шепли. Сделать проверку дележа. Можно использовать при этом ЭТ Excel.

Рекомендуемая литература: [1, С. 114–126].

Исходные данные приведены в табл. 5.1.

Пример решения задачи

Пусть , , , , , , .

Если игроки создадут коалицию , то они получат наибольший суммарный заработок 140 ден.ед. Его можно разделить между рабочими различными способами. Будем искать решение этой кооперативной игры, основанное на принципе «справедливого» дележа.

В соответствии с исходными данными образуем характеристическую функцию игры, значениями которой являются выигрыши игроков и коалиций, ден.ед.:

, , ,

, , ,

.

Данная функция обладает свойством супераддитивности, поэтому, образовав коалицию, игроки смогут получить выигрыши не меньшие, чем оставаясь раздельными. Рассмотрим метод Шепли, отражающий справедливость дележей. Для трех участников игры компоненты вектора Шепли выражаются соотношениями (см. [1, С. 121]):

, (5.1)

, (5.2)

. (5.3)

По формулам (5.1)-(5.3) получим

,

,

.

Таким образом, получен вектор Шепли: . Очевидно, что выполняются условия:

• коллективной рациональности

и

• индивидуальной рациональности , , .

Для коалиций из двух игроков выполняются неравенства: , , .

Таблица 5.1

Исходные данные для задачи 5

Номер варианта
1	60	60	40	130	110	130	210
2	60	50	60	120	140	140	210
3	40	60	30	130	100	100	190
4	30	30	60	70	120	120	180
5	60	60	30	140	100	100	200
6	20	60	50	100	90	140	170
7	20	40	40	70	70	110	140
8	30	40	50	100	90	120	180
9	30	50	50	90	110	120	190
10	30	60	50	120	110	140	180
11	50	20	40	100	120	80	170

Продолжение табл. 5.1

Номер варианта
12	50			30		20		110		80	60		140
13	30			20		60		70		120	100		170
14	20			60		60		110		90	150		200
15	40			40		30		90		80	80		140
16	40			30		60		90		130	100		190
17	60			60		20		140		90	110		180
18	50			20		20		80		90	50		130
19	30			30		60		90		120	110		180
20	40			40		30		100		90	80		160
21	50			50		60		130		130	140		220
22	50			20		50		80		130	100		160
23	20			30		40		60		90	100		140
24	30			60		50		120		90	140		190
25	60			50		50		120		120	110		200
26	50			60		20		130		90	90		180
27	30			40		50		80		100	110		160
28	30			20		40		60		90	70		140
29	40			20		50		70		100	80		130
30	30			20		40		60		100	70		140