2. Распределение тракторов по лесхозам

Управление лесного хозяйства приобрело 6 лесохозяйственных тракторов, которые следует распределить между 5 лесхозами. При поступлении тракторов в -й лесхоз, , уровень технической готовности машинно-тракторного парка повышается на величину , .

Какое решение должен принять главный инженер управления по распределению тракторов между лесхозами, чтобы получить максимальную техническую готовность парка?

Значения функций выбрать из табл. 2.12.

Методические указания

1. Представить задачу как многоэтапный процесс оптимизации. Составить функциональные уравнения для каждого этапа.

2. Выполнить прямой ход метода динамического программирования, используя функциональные уравнения.

3. Определить оптимальное распределение тракторов по лесхозам, используя обратный ход метода динамического программирования.

4. Расчеты оптимизации провести в таблицах Excel или разработать программу на любом алгоритмическом языке.

Рекомендуемая литература: [1, С. 52 – 58].

Пример решения задачи

Значения функций приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

0	0,98	0,97	0,88	0,73	0,91
1	0,99	0,92	0,86	0,94	0,94
2	0,85	0,83	0,72	0,83	0,85
3	0,84	0,91	0,73	0,85	0,83
4	0,82	0,93	0,95	0,78	0,8
5	0,79	0,78	0,81	0,76	0,72
6	0,95	0,83	0,8	0,93	0,84

Пусть – оптимальный выигрыш управления, полученный от лесхозов с номерами , при условии, что на эти лесхозы было выделено тракторов. Для решения задачи методом динамического программирования будем использовать функциональные уравнения:

(2.1)

, при . (2.2)

На листе Excel (табл. 2.2) представим исходные данные задачи.

Таблица 2.2

	A		B		C		D		E		F
1	Динамическое программирование
2	u	f1(u)		f2(u)		f3(u)		f4(u)		f5(u)
3	0	0,98		0,97		0,88		0,73		0,91
4	1	0,99		0,92		0,86		0,94		0,94
5	2	0,85		0,83		0,72		0,83		0,85
6	3	0,84		0,91		0,73		0,85		0,83
7	4	0,82		0,93		0,95		0,78		0,8
8	5	0,79		0,78		0,81		0,76		0,72
9	6	0,95		0,83		0,8		0,93		0,84

Рассмотрим прямой ход метода динамического программирования – движение от последнего этапа к первому.

Справа от таблицы с исходными данными в столбцах от L до V подготовим «шапку» результирующей табл. 2.3 для внесения промежуточных результатов решения задачи. Заполнение клеток этой таблицы будет происходить постепенно, начиная со столбца, соответствующего оптимизации 5-го лесхоза ( ) до столбца, соответствующего оптимизации 1-го лесхоза ( ). Для каждого в таблицу заносятся значения , для которых в выражении (2.2) достигается максимум, а также сами значения .

Метод динамического программирования есть многоэтапный процесс. За первый этап примем определение количества тракторов для 1-го лесхоза, за второй этап – определение количества тракторов для 2-го лесхоза и т.д. При этом процесс принятия решений в динамическом программировании разворачивается с последнего этапа.

Начнём оптимизацию с 5-го лесхоза. Согласно (2.1) , причем , . Это отражено в табл. 2.3 (графа ).

Перейдём к оптимизации 4-го лесхоза. Распишем формулу (2.2) подробно, получим

,

,

,

,

,

Таблица 2.3

	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V
1	i	k=5		k=4		k=3		k=2		k=1
2		u5(i)	w5(i)	u4(i)	w4(i)	u3(i)	w3(i)	u2(i)	w2(i)	u1(i)	w1(i)
3	0	0	0,91	0	1,64	0	2,52	0	3,49
4	1	1	0,94	1	1,85	0	2,73	0	3,70
5	2	2	0,85	1	1,88	0	2,76	0	3,73
6	3	3	0,83	1	1,79	1	2,74	0	3,71
7	4	4	0,80	3	1,79	0	2,67	1	3,66
8	5	5	0,72	1	1,74	1	2,65	3	3,67
9	6	6	0,84	6	1,84	4	2,83	0	3,80	0	4,78

В этих формулах суммы соответствуют содержимому ячеек в табл. 2.4. Так, например, сумма есть содержимое ячейки B12, а сумма – содержимое ячейки H18.

Таблица 2.4

	A	B	C	D	E	F	G	H
11	k=4	0	1	2	3	4	5	6
12	0	=$E$3+N3
13	1	=$E$3+N4	=$E$4+N3
14	2	=$E$3+N5	=$E$4+N4	=$E$5+N3
15	3	=$E$3+N6	=$E$4+N5	=$E$5+N4	=$E$6+N3
16	4	=$E$3+N7	=$E$4+N6	=$E$5+N5	=$E$6+N4	=$E$7+N3
17	5	=$E$3+N8	=$E$4+N7	=$E$5+N6	=$E$6+N5	=$E$7+N4	=$E$8+N3
18	6	=$E$3+N9	=$E$4+N8	=$E$5+N7	=$E$6+N6	=$E$7+N5	=$E$8+N4	=$E$9+N3

Результаты расчетов приведены в табл. 2.5.

В каждой строке среди указанных выше сумм найдем максимальное число. Это будут числа в ячейках B12=1,64, C13=1,85, C14=1,88, C15=1,79, E16=1,79, C17=1,74, H18=1,84. При этом максимум достигается для номеров 0, 1, 1, 1, 3, 1, 6 соответственно. Полученные данные записываются в графу результирующей табл. 2.3.

Таблица 2.5

	A	B	C	D	E	F	G	H
11	k=4	0	1	2	3	4	5	6
12	0	1,64
13	1	1,67	1,85
14	2	1,58	1,88	1,74
15	3	1,56	1,79	1,77	1,76
16	4	1,53	1,77	1,68	1,79	1,69
17	5	1,45	1,74	1,66	1,70	1,72	1,67
18	6	1,57	1,66	1,63	1,68	1,63	1,70	1,84

Аналогичные расчеты выполняются для 3-го, 2-го и 1-го лесхозов.

Оптимизация 3-го лесхоза связана с заполнением табл. 2.6 и 2.7.

Таблица 2.6

	A	B	C	D	E	F	G	H
20	k=3	0	1	2	3	4	5	6
21	0	=$D$3+P3
22	1	=$D$3+P4	=$D$4+P3
23	2	=$D$3+P5	=$D$4+P4	=$D$5+P3
24	3	=$D$3+P6	=$D$4+P5	=$D$5+P4	=$D$6+P3
25	4	=$D$3+P7	=$D$4+P6	=$D$5+P5	=$D$6+P4	=$D$7+P3
26	5	=$D$3+P8	=$D$4+P7	=$D$5+P6	=$D$6+P5	=$D$7+P4	=$D$8+P3
27	6	=$D$3+P9	=$D$4+P8	=$D$5+P7	=$D$6+P6	=$D$7+P5	=$D$8+P4	=$D$9+P3

Таблица 2.7

	A	B	C	D	E	F	G	H
20	k=3	0	1	2	3	4	5	6
21	0	2,52
22	1	2,73	2,50
23	2	2,76	2,71	2,36
24	3	2,67	2,74	2,57	2,37
25	4	2,67	2,65	2,60	2,58	2,59
26	5	2,62	2,65	2,51	2,61	2,80	2,45
27	6	2,72	2,60	2,51	2,52	2,83	2,66	2,44

Оптимизация 2-го лесхоза связана с заполнением табл. 2.8 и 2.9.

Таблица 2.8

	A	B	C	D	E	F	G	H
29	k=2	0	1	2	3	4	5	6
30	0	=$C$3+R3
31	1	=$C$3+R4	=$C$4+R3
32	2	=$C$3+R5	=$C$4+R4	=$C$5+R3
33	3	=$C$3+R6	=$C$4+R5	=$C$5+R4	=$C$6+R3
34	4	=$C$3+R7	=$C$4+R6	=$C$5+R5	=$C$6+R4	=$C$7+R3
35	5	=$C$3+R8	=$C$4+R7	=$C$5+R6	=$C$6+R5	=$C$7+R4	=$C$8+R3
36	6	=$C$3+R9	=$C$4+R8	=$C$5+R7	=$C$6+R6	=$C$7+R5	=$C$8+R4	=$C$9+R3

Таблица 2.9

	A	B	C	D	E	F	G	H
29	k=2	0	1	2	3	4	5	6
30	0	3,49
31	1	3,70	3,44
32	2	3,73	3,65	3,35
33	3	3,71	3,68	3,56	3,43
34	4	3,64	3,66	3,59	3,64	3,45
35	5	3,62	3,59	3,57	3,67	3,66	3,30
36	6	3,80	3,57	3,50	3,65	3,69	3,51	3,35

Оптимизация 1-го лесхоза проводится только для одной строки, соответствующей 6 тракторам, она связана с заполнением табл. 2.10 и 2.11.

Таблица 2.10

	A	B	C	D	E	F	G	H
38	k=1	0	1	2	3	4	5	6
39	6	=B3+T9	=B4+T8	=B5+T7	=B6+T6	=B7+T5	=B8+T4	=B9+T3

Таблица 2.11

	A	B	C	D	E	F	G	H
38	k=1	0	1	2	3	4	5	6
39	6	4,78	4,66	4,51	4,55	4,55	4,49	4,44

Рассмотрим теперь обратный ход метода динамического программирования – движение от первого этапа к последнему. Обратимся к табл. 2.3. Максимальное повышение уровня технической готовности по всем лесхозам равно . Этот максимум достигается при отправке тракторов в 1-й лесхоз, после чего остается тракторов. Во 2-й лесхоз необходимо также направить тракторов. В 3-й лесхоз необходимо направить трактора. В 4-й лесхоз необходимо направить трактор. В 5-й лесхоз необходимо направить трактор. Набор чисел представляет собой оптимальное распределение тракторов по лесхозам. В табл. 2.3 эти числа выделены серым цветом.

Таблица 2.12