3.4. Друге рівняння Максвелла як узагальнений закон електромагнітної індукції.

Розглянемо друге рівняння Максвела у диференціальній формі. Воно пов’язує просторові зміни електричного поля з змінами в часі магнітного поля :

.

Нехай електричне поле відсутнє ( ). Тоді із рівняння Максвелла випливає твердження:

.

Висновок: магнітне поле, яке існує без зв’язку із електричним, може бути лише стаціонарним. Але як тільки магнітне поле починає змінюватись із плином часу одразу у середовищі з’являється електричне поле.

Потік вектора через поверхню S називається магнітним потоком:

.

Циркуляцію вектора вздовж замкненого контуру L, який охоплює поверхню S, називають електрорушійною силою (ЕРС) Є:

.

З урахуванням визначених величин потоку та ЕРС друге рівняння Максвелла в інтегральній формі можна переписати так:

.

Отримане рівняння є відображенням закону індукції Фарадея. Згідно цього закону у замкненому провідному контурі з’являється електричне поле якщо його пронизує змінний магнітний потік. Закон Фарадея лежить в основі роботи всіх електричних машин, що використовуються для отримання енергії.

Закон Фарадея був експериментально встановлений для металевих контурів, які знаходяться у змінному магнітному полі. Закон електро-магнетизму, який відображає друге рівняння Максвелла, має ширші межі застосування, оскільки контур L в даному рівнянні – це довільний контур, який можна окреслити у просторі. Матеріальні властивості об’єктів, які потрапляють в область побудови контуру, не змінюють суті закону. Тому друге рівняння Максвелла може розглядатись як узагальнений закон електромагнітної індукції.

На рис. 11 показано взаємне просторове розміщення силових ліній електричного і магнітного полів.

3.5. Зміст третього рівняння Максвелла.

Зміст третього рівняння Максвелла -

(інтегральна форма) -

повністю вичерпується змістом понять дивергенції та потоку вектора. Заряди є джерелом електричного поля. Лінії вектора починаються на додатних і закінчуються на від'ємних зарядах. На рис. 12 показано картину силових ліній в околі точкового заряду.

Третє рівняння Максвелла в інтегральній формі відоме також під назвою теореми Гаусса.

Відмітимо, що потік вектора електричної індукції через замкнену поверхню буде нульовим і у випадку відсутності всередині поверхні зарядів, і у випадку їх нейтралізації.

Якщо у певній області заряди відсутні q=0 , але електричне поле існує, то це означає, що поле соленоїдальне.

3.6. Четверте рівняння Максвелла.

Четверте рівняння Максвелла -

-

аналогічне третьому рівнянню системи. Відмінність полягає у тому, що рівність має нульову праву частину. Це вказує на відсутність у природі об'єктів, які можна назвати магнітними зарядами. Із четвертого рівняння Максвелла слідує твердження про те, що силові лінії магнітної індукції не мають ні витоків ні стоків, вони завжди є замкненими, або проходять із нескінченності у нескінченність.

Задачі до §2-3.

1. Розрахувати напруженість поля, яке створює точковий заряд q.

Розв’язання:

Т очковий електричний заряд q створює у просторі статичне електричне поле. Для розрахунку напруженості поля використаємо третє рівняння Максвелла у інтегральній формі: .Виберемо у якості поверхні інтегрування S сферу, у центрі якої розміщується точковий заряд q (рис. 13). Очевидно, що напрямки векторів і співпадають і скалярний добуток під знаком інтегралу є добутком абсолютних значень цих векторів. На поверхні сфери значення D є сталою величиною, тому значення інтегралу можна подати у наступному вигляді:

, або

Напрямок вектора співпадає із напрямком радіального орта сферичної системи координат. Остаточно маємо:

.

2. Розрахувати напруженість поля, яке створює рівномірно заряджена куля. На кулі зосереджено заряд q. Радіус кулі R.

3. Розрахувати напруженість поля, яке створює рівномірно заряджена площина. Густина заряду на поверхні пластини σ.

4. Довести еквівалентність рівнянь системи Максвелла, які записані у інтегральній та диференціальній формах.

5. Розрахувати напруженість поля, яке створює нескінченний провідник із струмом І.

Р озв’язання:

Навколо провідника, по якому протікає постійний струм, утворюється статичне магнітне поле (рис. 14). Це твердження випливає із першого рівняння Максвелла. Розрахунок напруженості магнітного поля навколо можна швидко виконати, взявши за основу перше рівняння Максвелла у інтегральній формі: . Контур інтегрування L виберемо у вигляді кола, в центрі якого знаходиться провідник із струмом. У цьому випадку для кожної точки контуру величина напруженості поля буде постійною. Тому вихідне рівняння перепишемо у вигляді:

, або .

Звідси отримуємо величину напруженості магнітного поля: .

Відмітимо, що напруженість поля обернено пропорційна відстані від провідника.

6. Взявши за основу закон збереження заряду, отримати та проаналізувати рівняння . Пояснити властивості його розв’язку.

Контрольні запитання до §2-3.

1. Який зміст вкладається у поняття електричного заряду?

2. Дайте означення струму провідності.

3. Розкрийте суть закону збереження заряду.

4. Як виявити наявність у просторі електромагнітних полів?

5. Які функції використовуються для опису електромагнітних полів?

6. Розкрийте зміст рівнянь системи Максвелла.

7. Поясніть взаємну просторову орієнтацію полів.