8.5. Електромагнітні хвилі у повздовжньо-однорідних структурах.

Важливе практичне значення мають повздовжньо-однорідні структури, які використовуються для передачі електромагнітних сигналів (хвиль) у інформаційних системах.

Уявлення про повздовжньо-однорідні структури допоможе сформувати рис. 26. Електромагнітна хвиля поширюється вздовж області V, яка однорідна у напрямку, наприклад, z (будь-які перерізи S_┴ області V площинами z=const є тотожні). Хвиля може поширюватись всередині області V, або зовні цієї області.

Н айбільшого поширення набули порожнинні хвилеводи – металеві труби прямокутного і круглого поперечного перерізу (рис. 27 а), діелектричні хвилеводи – діелектричні стрижні (рис. 27 б).

Розглянемо задачу розра-хунку напруженості полів , у хвилеводах в наближенні гармонічних коливань. Ско-ристаємось методом розділен-ня змінних. Виходячи з властивості однорідності хвилеводів в напрямку z, подамо розв’язки рівнянь Гельмгольца у наступному вигляді:

,

, i=x,y,z.

Підстановка функцій , (комплексних амплітуд) у рівняння Гельмгольца приводить до систем рівнянь:

, , i=x,y,z.

Загальний розв’язок системи подамо у вигляді:

, i=x,y,z.

Доданки функцій – комплексні амплітуди неоднорідних хвиль (амплітуди залежать від поперечних координат x, y), що поширюються вздовж виділеного напрямку. Величина Г називається повздовжнім хвильовим числом (може бути як дійсним, так і комплексним), χ – поперечним хвильовим числом.

Запропонований підхід дозволяє привести тривимірну задачу про поширення хвиль до задачі розв’язання двовимірного рівняння Гельмгольца.

Підстановка компонент векторів та у перше та друге рівняння Максвелла дозволяє отримати (за умови ) наступні шість скалярних рівнянь відносно компонент комплексних амплітуд (індекс m тут і далі для зручності опущено):

Рівняння системи дозволяють виразити поперечні компоненти полів через повздовжні:

Відомо (див. п.6.2), що електромагнітні хвилі, які переносять енергію вздовж напрямку z, повинні мати як поперечну електричну, так і поперечну магнітну компоненти. Отримані вище співвідношення показують, що такі властивості мають поля тільки з однією електричною, або тільки з однією магнітною повздовжньою компонентою. Загальний розв’язок задачі може розглядатись як накладання двох частинних розв’язків: у одному розв’язку у іншому – .

Тому при розгляді хвильових процесів у повздовжньо-однорідних структурах виділяють клас Е-хвиль (або ТМ-хвиль), для яких та клас Н-хвиль (або ТЕ-хвиль), для яких .

У випадку функція , яка описує Е-хвилю, повністю визначає інші компоненти електромагнітного поля. Для пошуку функції в області V (рис. 26) потрібно, очевидно, розглянути двовимірне рівняння Гельмгольца:

.

Для формулювання крайової задачі рівняння Гельмгольца потрібно доповнити граничними умовами. Для порожнинного хвилеводу з металевими стінками (рис. 27 а), наприклад, умови на границі області (контурі ) визначаються співвідношенням: (умова стверджує відсутність електричних полів у металах з ідеальною провідністю). Отримуємо першу крайову задачу для скалярного рівняння Гельмгольца. В задачі визначаються власні функції і власні числа , де n=1,2,3,…. ; m=1,2,3,….

Розглянемо випадок . Для визначення компонент поля Н-хвилі розв’язують двовимірне рівняння Гельмгольца:

,

яке потрібно доповнити граничними умовами. Встановимо умови на гранці області V у цьому випадку для металевого хвилеводу. На поверхні ідеального провідника, яким, як вважають, є стінки металевого хвилеводу, виконуються умови , , де індекс визначає компоненту вектора поля, що співпадає з вектором нормалі до поверхні, яка визначає границю області V, - компоненту вектора поля, що орієнтована вздовж поверхні. Врахування цих умов у рівнянні дозволяє отримати граничні умови для функції на контурі у вигляді:

.

Таким чином, отримуємо формулювання другої крайової задачі для скалярного рівняння Гельмгольца. Невідомими задачі є власні функції і власні числа , де n=1,2,3,….; m=0,1,2,….

Розв’язками крайових задач є системи функцій , . Кожна функція системи визначає тип хвилі (хвильову моду), яка існує у хвилеводі і має постійну поширення Γ (повздовжнє хвильове число). Величина залежить від лінійних розмірів поперечного розрізу хвилеводу, частоти коливань ω та значень n, m. При фіксованому значенні частоти ω лише хвилі тих типів, для яких постійна поширення Γ є дійсною, поширюються у хвилеводі і, відповідно, переносять енергію. Хвилі інших типів (їх нескінченність) експоненціально згасають.

Процес поширення хвильових мод схематично можна проілюструвати як накладання (суперпозицію) плоских хвиль, що відбиваються від стінок хвилеводу (рис. 28).

На рис. 28 показано дві різні моди. Очевидно, що . Нерівність обумовлена тим, що та . Нагадаємо, що .

Задачі до §7-8.

1. Розв’язати хвильове рівняння відносно електричного вектора Герца у області нескінченного порожнинного хвилеводу прямокутного поперечного перерізу. Розглянути наближення гармонічних хвиль.

2. Розв’язати першу крайову задачу для двовимірного рівняння Гельмгольца відносно вектора напруженості електричного поля у області нескінченного порожнинного хвилеводу прямокутного поперечного перерізу.

3. Розв’язати другу крайову задачу для двовимірного рівняння Гельмгольца відносно вектора напруженості магнітного поля у області нескінченного порожнинного хвилеводу прямокутного поперечного перерізу.

4. Розв’язати другу крайову задачу для двовимірного рівняння Гельмгольца відносно вектора напруженості магнітного поля у області нескінченного порожнинного хвилеводу кругового поперечного перерізу.

Розв’язання:

Відомо [п.8.5], що для пошуку компонент електромагнітного поля у повздовжньо-однорідних структурах (хвилеводах) потрібно розв’язати двовимірне рівняння Гельмгольца із врахуванням умов на стінках хвилеводу. Для розрахунку полів у круглому хвилеводі потрібно, таким чином, розв’язати рівняння , яке доповнюємо наступними граничними умовами: , де -контур поперечного перерізу хвилеводу (у нашому випадку - коло). Виходячи із симетрії задачі перепишемо рівняння Гельмгольца у циліндричних координатах:

.

Розв’язок шукаємо у вигляді добутку функцій: . Після підстановки такої заміни у рівняння і множення усіх доданків рівняння на величину , отримуємо:

.

Виконані перетворення привели до розділення змінних: перші три доданки залежать від r, а останній – від α. Введемо константу n² . Після цього рівняння Гельмгольца можна подати у вигляді еквівалентної системи звичайних диференціальних рівнянь:

Перше рівняння – це рівняння Бесселя. Його розв’язок має вигляд:

де A, B – сталі, - відповідно функції Бесселя і Неймана n-го порядку.

Розв’язок другого рівняння відомий:

Таким чином, знайдено загальний розв’язок рівняння Гельмгольца, який містить невизначені константи.

Перейдемо до розв’язання крайової задачі. Очевидно, що для кругових областей виконуються умови: . Тому n – ціле число. Використання граничних умов приводить до рівняння виду: (враховано, що при r→0 , тому сталу В вибрали такою, що В=0 ). Таким чином, , де А_nm – корінь рівняння .

Остаточно отримуємо: , де .

5. Розміри поперечного перерізу прямокутного хвилеводу складають a=2 см і b=1 см. Визначити типи хвиль, які можуть переносити енергію у хвилеводі. Частота коливань f=20 ГГц. Вважати стінки хвилеводу ідеально провідними.

6. Розв’язати першу крайову задачу для рівняння Гельмгольца відносно вектора напруженості електричного поля у області, яка має форму паралелепіпеда із лінійними розмірами a, b, c (прямокутний резонатор).

7. Використовуючи відому функцію електричного вектора Герца розрахувати компоненти векторів напруженості електричного і магнітного полів. Скористатись результатом розв’язання задачі №1.

8. Нескінченний діелектричний шар з проникністю ε та μ міститься у повітрі. Показати, що такий шар може використовуватись як хвилевод (для цього потрібно, щоб поле електромагнітної хвилі концентрувалось у тілі хвилеводу).

Контрольні запитання до §7-8.

1. Які наближення дозволяють отримати рівняння Даламбера?

2. Дайте формальне означення векторного і скалярного потенціалів.

3. Визначте умову калібрування Лоренца. Які міркування дозволяють записати цю умову?

4. Дайте формальне означення електричного і магнітного векторів Герца. Які переваги дає застосування векторів Герца?

5. Розкрийте поняття “гармонічні коливання”. Наведіть приклади гармонічних коливань.

6. Якими функціями описуються гармонічні коливання? Якими параметрами характеризують гармонічні коливання? Розкрийте їх зміст.

7. Розкрийте суть методу комплексних амплітуд.

8. Поясніть поняття “плоска хвиля”.

9. Отримайте загальний розв’язок хвилевого рівняння. Який зміст мають параметри розв’язку?

10. Наведіть міркування, які пояснюють взаємну орієнтацію векторів , та .

11. Які наближення використовують при розгляді електромагнітних хвиль у повздовжньо-однорідних структурах?

12. Розкрийте суть методу розділення змінних.

13. Які типи хвиль можуть виникати у повздовжньо-однорідних структурах? Яким крайовим задачам вони відповідають?

Список використаної та рекомендованої літератури

1. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики. – М.: Высшая школа, 1991. – 248 с.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1976.

3. Васильев Е. Н., Марков Г. Т. Математические методы прикладной электродинамики. – М.: Советское радио, 1970.

4. Ваганов Р. Б., Каценеленбаум Б. З. Основы теории дифракции. – М.: Наука, 1982.

5. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеивания. – М. Мир, 1987.

6. Левин Л. Теория волноводов. - М.: Советское радио, 1981. – 311 с.

7. Кухаркин Е. С. Инженерная электрофизика. - М.: Высшая школа, 1982. – 519 с.

8. Фуско В. СВЧ цепи. Анализ и автоматизированное проектирование. - М.: Радио и связь, 1990. – 287 с.

9. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. – М.: Наука, 1990. – 431 с.

10. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распро-странение радиоволн. – М.:Наука, 1989. – 543 с.

11. Григоренко Я. М., Панкратова Н. Д. Обчислювальні методи в задачах прикладної математики. – К.: Либідь, 1995. – 229 с.

12. Гридин В.Н., Нефедов Е.И., Черникова Т. Ю. Электродинамика структур крайне высоких частот. – М.: Наука, 2002. – 359 с.

57