8.2. Рівняння Максвелла відносно комплексних амплітуд.
Гармонічні коливання є найбільш важливим предметом аналізу теорії електромагнетизму. Важливість такого типу коливань підкріплена тим, що коливання довільного типу можна розкласти на гармонічні коливання.
Дослідимо властивості електромагнітних полів, які змінюються в часі за гармонічним законом.
Керуючись методом комплексних амплітуд, подамо компоненти електромагнітного поля у вигляді наступних векторних функцій:
,
.
Підставимо
вирази для
і
у перше і друге рівняння Максвелла.
Отримаємо рівняння відносно комплексних
амплітуд виду:
,
.
Третє і четверте рівняння Максвелла можна розглядати як наслідки першого і другого рівнянь. Для доведення цього твердження потрібно скористатись законом збереження заряду, який подається у наступному вигляді:
.
Виключимо із рівнянь вектори індукції поля. Для цього скористаємось матеріальними рівняннями:
,
,
.
Після підстановки матеріальних рівнянь в перше рівняння Максвелла, отримаємо:
.
Величина
називається комплексною діелектричною
проник-ністю. Властивості матеріальних
середовищ характеризує комплексна
величина. Якщо матеріал має діелектричні
властивості, то діелектрична проникність
– величина дійсна. Якщо речовина проявляє
провідні властивості, то комплексна
діелектрична проникність буде мати
лише уявну частину.
Рівняння Максвелла, які є диференціальними рівняннями першого порядку, можна подати у вигляді рівнянь другого порядку:
,
або
,
де
.
Рівняння
відносно комплексних амплітуд
,
в частинних похідних другого порядку
називаються рівняннями
Гельмгольца.
В нашому розгляді ми отримали однорідні
рівняння Гельмгольца, які описують
електродинамічну систему при відсутності
зовнішньої дії на неї (вектор стороннього
струму
дорівнює нулю).
8.3. Загальні уявлення про хвильові процеси.
Хвильові процеси широко вивчаються у сучасній науці. Події у живій та неживій природі часто розгортаються за хвильовими законами. Першообразом поняття хвилі стали хвильові процеси на поверхні води. Під час поширення хвиль у просторі середовище поступово залучається до процесу коливань, в результаті якого відбувається поширення енергії.
В
основі математичного опису хвилевих
процесів лежать наступні міркування.
Нехай фізичний процес у точці простору
характеризується
функцією:
.
В
іншій точці простору, наприклад
,
цей процес спостерігатись не буде (
)
до того часу, поки коливання не будуть
передані середовищем. Отже, через деякий
час τ
у точці
будуть спостерігатись коливання, які
описуються функцією:
.
У найпростішому випадку у т. В буде спостерігатись той же процес, що і в т. А, але із затримкою τ у часі:
,
або
.
Інтервал
часу
– це час, який необхідний для передачі
збурення із т. А
в т. В
із швидкістю v.
Нехай збурення поширюється у просторі в напрямку z. Із врахуванням сказаного вище цей процес характеризується наступною функцією:
.
Дійсно,
при
.
При
.
Таким чином, процеси, які протікають в
точках А
і В
ідентичні. Вони відрізняються лише
зміщенням фаз (рис. 23):
.
Р
озглянутий
процес поширення збурень називають
поширенням плоских
хвиль.
Поняття плоскої хвилі відображає те,
що в будь-якій точці (x,y)
площини, яка перпенди-кулярна осі z,
спостерігається однаковий процес (зміна
координат x,
y
в довільній площині z=const
залишає значення
в фіксований момент часу незмінним).
Зафіксуємо
конкретне значення функції, що характеризує
процес коливань (фазу
процесу):
.
За час τ, який визначається різницею
площина z=const
із фіксованою фазою переміщується на
відстань
.
Площину із фіксованою фазою називають
фронтом
хвилі. Поширення хвилі можна розглядати
як переміщення фронту хвилі.
Хвилі, які поширюються у напрямку, що протилежний напрямку осі z, описуються функціями виду:
.
Очевидно, що дану функцію отримують шляхом зміни знаку у аргументі функції на протилежний.