7.3. Електричний та магнітний вектори Герца.

Спробуємо визначити функції , через єдину функцію, але таким чином, щоб умова калібрування Лоренца та рівняння Даламбера виконувались. Умова Лоренца дозволяє зробити припущення про те, що така функція існує і її можна визначити наступним чином:

.

Підставляючи значення в умову Лоренца отримаємо:

.

Функцію називають електричним вектором Герца. Перевіримо чи немає при такій заміні протиріч між рівняннями Даламбера. Підставимо вирази для скалярного та векторного потенціалів у перше і друге рівняння Даламбера.

Друге рівняння Даламбера набуває вигляду:

.

Відповідно перше рівняння Даламбера має вид:

,

де – густина сторонніх струмів у системі (струмів, які викликані неелектромагнітними чинниками).

Останнє рівняння можна переписати так:

.

Отриманні рівняння не суперечать одне одному, оскільки підстановка першого у друге дозволяє отримати рівняння збереження заряду.

.

Таким чином, використана заміна функцій та на функцію є можливою.

Якщо компоненти вектора відомі, то вектори напруженості електричної компоненти та напруженості магнітної компоненти поля відповідно визначаються так:

;

.

Введемо вектор поляризації , який визначає сторонній струм наступним чином: . Така заміна виправдана для непровідних середовищ. Використаємо формальну заміну: . Після чого рівняння Даламбера набуває наступного вигляду:

.

Для непровідних середовищ (σ=0) з урахуванням виразу для отримаємо:

. Звідки .

Отже, вектор Герца задовольняє рівняння:

.

Звідки, у випадку відсутності сторонніх струмів у системі, отримуємо хвильове рівняння.

Остаточний висновок: електромагнітні поля можна виразити через допоміжні функції: векторний чи скалярний потенціали, вектор Герца.

Зауважимо, що функції та вводяться на основі уявлень про відсутність магнітних зарядів: . Якщо відштовхуватись від умови відсутності електричних зарядів ( ), то отримуємо аналогічні функції та , які також описують електромагнітні поля:

.

З першого рівняння Максвелла:

.

На основі функцій та можна ввести векторну функцію , для якої будуть виконуватись наступні умови:

,

.

Функцію називають магнітним вектором Герца, і для її визначення можна побудувати відповідне хвильове рівняння.

§8. Аналітичні методи аналізу електродинамічних систем.

8.1. Гармонічні коливання та комплексні амплітуди.

Якщо деяка фізична величина змінюється в часі за законом , то говорять, що відбуваються гармонічні коливання. При цьому величину U_m називають амплітудою коливань, ω – кругова частота коливань, ωt+φ₀ – фаза, φ₀ – початкова фаза коливань.

Гармонічні коливання – це періодичний процес. Періодом коливань Т називається така найменша величина, яка задовольняє умову u(t+T)=u(t). Очевидно, що величина Т визначається співвідношенням:

, або ,

де f – частота коливань, яка визначається числом періодів за одиницю часу (секунду).

В теорії електромагнетизму часто використовують скалярні та векторні функції, які відображають гармонічні коливання. Скалярні функції подають у наступному вигляді:

.

Векторні функції подаються так:

.

В теорії гармонічних коливань ефективно працює метод комплексних амплітуд. Суть методу полягає в тому, що замість тригонометричних функцій використовують експоненціальні:

, де .

Внаслідок застосування перетворень отримуємо комплексні представлення фізичних величин. Величина , яка отримала назву комплексної амплітуди є, наприклад, носієм інформації про амплітуду і початкову фазу коливань. Особливістю комплексних амплітуд є те, що ці функції залежить лише від просторових координат.

Отже, застосування методу комплексних амплітуд дозволяє подати гармонічну функцію у вигляді добутку функції координат і функції часу . У загальному випадку: .

Відмітимо, що фізичний зміст має дійсна частина комплексного подання гармонічної функції:

.

Приведені міркування можуть застосовуватись для опису векторних функцій:

, .

Метод комплексних амплітуд спрощує перетворення під час розв’язання диференціальних рівнянь в частинних похідних. Всі доданки такого рівняння мають множник виду . Опускаючи такий множник, отримують рівняння відносно комплексних амплітуд, яке не містить часових залежностей. Якщо в результаті розв’язування рівняння комплексну амплітуду знайдено, то для відтворення шуканої функції потрібно домножити комплексну амплітуду на множник і виділити дійсну частину. Запропонований підхід правомірний для лінійних рівнянь. Відомо, що якщо існує розв'язок лінійного рівняння у вигляді комплексної функції, то це рівняння задовольняє окремо дійсна частина знайденої функції і уявна частина цієї функції.

Якщо періодичні коливання відбуваються не за гармонічним законом, то можна застосувати розклад функції у ряд Фур’є:

.

Розклад у ряд Фур’є можна подати у еквівалентному комплексному вигляді:

, де

Коефіцієнти такого ряду, очевидно, і є комплексними амплітудами, а члени ряду – комплексні представлення гармонічних коливань з частотами 0, ±ω, ±2ω, ±3ω,… Отже, довільні коливальні процеси можна аналізувати за допомогою методу комплексних амплітуд.